动态规划系列之「编辑距离」

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符

删除一个字符

替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

编辑距离算法被数据科学家广泛应用，是用作机器翻译和语音识别评价标准的基本算法。

最直观的方法是暴力检查所有可能的编辑方法，取最短的一个。所有可能的编辑方法达到指数级，但我们不需要进行这么多计算，因为我们只需要找到距离最短的序列而不是所有可能的序列。

我们可以对任意一个单词进行三种操作：

插入一个字符；

删除一个字符；

替换一个字符。

题目给定了两个单词，设为 A 和 B，这样我们就能够六种操作方法。

但我们可以发现，如果我们有单词 A 和单词 B：

对单词 A 删除一个字符和对单词 B 插入一个字符是等价的。例如当单词 A 为 doge，单词 B 为 dog 时，我们既可以删除单词 A 的最后一个字符 e，得到相同的 dog，也可以在单词 B 末尾添加一个字符 e，得到相同的 doge；
同理，对单词 B 删除一个字符和对单词 A 插入一个字符也是等价的；
对单词 A 替换一个字符和对单词 B 替换一个字符是等价的。例如当单词 A 为 bat，单词 B 为 cat 时，我们修改单词 A 的第一个字母 b -> c，和修改单词 B 的第一个字母 c -> b 是等价的。

这样一来，我们可以保留一个字符串不变，只是操作另一个字符串。比如保留B，只操作A：

在单词 A 中插入一个字符
删除 A 中的一个字符
修改 A 中的一个字符

如下图，这里给出了最短编辑距离的其中一种编辑方式：

上图最短编辑距离为5。

可以发现操作不只有三个，其实还有第四个操作，就是什么都不要做（skip）。比如当 $s1[i] == s2[j] $ 时，执行 $i - -$ 即 $j - -$

了解上述过程之后，下面就直接用动态规划的思路解题，定义动态规划数组的含义：

dp[i][j] 表示s1[0...i] 和 s2[0...j] 的最小编辑距离。

base case 就是 dp[..][0] 和 dp[0][..]，表示当其中一个字符串0时，最小编辑距离肯定取决于不为0的那个字符串的长度，比如 A 为0，B 不为0，那么最短编辑距离有两种选择：

要么将 B 中的字符全部删除变为0
要么向 A 中逐个添加字符使其跟 B 相同

当 $s1[i] != s2[j] $，有三种选择：

在单词 A 中插入一个字符
删除 A 中的一个字符
修改 A 中的一个字符

只不过这三个选择哪一个，取决于选择哪一个使得dp[i][j]，所以选择三个中的最小值

Java实现如下：

class Solution {
    
    
    public int minDistance(String word1, String word2) {
    
    
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];

        // base case
        for(int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
        for(int i = 0; i <= n; i++) dp[0][i] = i;
        
        for(int i = 1; i <= m; i++){
    
    
            for(int j = 1; j <= n; j++){
    
    
                if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)){
    
    
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                }else{
    
    
                    dp[i][j] = min(
                        dp[i][j-1] + 1,
                        dp[i-1][j] + 1,
                        dp[i-1][j-1] + 1
                    );
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

    public static int min(int a, int b, int c){
    
    
        return Math.min(a, Math.min(b, c));
    }
}

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n^2)

动态规划系列之「编辑距离」

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