数据结构（五） – 图

= LUOFANG SHIJIE + 网上的小伙伴见解 + 个人见解

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“首当其冲”

在有向图中，顶点用尖括号，在无向图中，顶点用圆括号

例如<x,y>和<y,x>是不相同的，但是(x,y)和(y,x)是相同的。

在图中，一般用n来表示顶点的数目，用e来表示边的数目

无向完全图和有向完全图：

无向完全图：边的数目为n(n-1)/2

有向完全图：边的数目为n(n-1)

网：带权的图往往称为网

入度和出度：对于有向图而言的。在有向图中，所有顶点的入度和出度之和的1/2为图的边数

路径长度：是一条路径上通过边的条数

连通、连通图、连通分量：有路径——连通在图中，任一顶点都有路径——连通图

无向图中的极大连通子图——连通分量

强连通图和强连通分量：是相对于有向图而言的。

连通图的生成树：一个极小连通子图，他包含图中的所有顶点，但是只有足以构成一棵树的n-1条边。

如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，那一定是非连通图，如果他多于n-1条边，那一定有环。

有向树和生成森林：只有一个点的入度为0，其余点的入度均为1的有向图称为有向树

生成森林：由若干棵有向树组成，且互不相交

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图的存储结构

邻接矩阵表示法

若图是网，则可以这样表示：

#define MaxInt 32767
#define MVNum 100
typedef char VerTexType;	//假设顶点的类型是char型
typedef int ArcType;		//假设边的权值类型是int
typedef struct
{
	VerTexType vexs[MVNum];
	ArcTexType arcs[MVNum][MVNum];
	int arcnum,vexnum;
}AMGraph;

采用邻接矩阵法创建无向网：时间复杂度0(n²)

Status CreatUND(AMGraph &G)
{
	cin>>G.arcnum>>G.vexnum;
	for(int i=0;i<vexnum;i++)  //依次输入顶点信息
		cin>>G.vexs[i];
	for(int i=0;i<vexnum;i++)
	{
		for(int j=0;j<vexnum;j++)
		{
			G.arcs[i][j]=MaxInt;
		}
	}
	for(int k=0;k<G.arcnum;k++)
	{
		cin>>v1>>v2>>w;  //输入一条边依附的顶点和权值
  		i=LocateVex(G,v1);
  		j=LocateVex(G,v2);
  		G.arcs[i][j]=w;
  		G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i];	//无向网
	}
	return OK;
}

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对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。因此我们考虑另外一种存储结构方式：邻接表（Adjacency List），即数组与链表相结合的存储方法。

邻接表表示法

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课本的理解有点混

new：

图中顶点用一个一维数组存储，另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图称为顶点vi作为弧尾的出边表。

无向图的邻接表结构。

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若是有向图，邻接表的结构是类似的

如图以顶点作为弧尾来存储边表容易得到每个顶点的出度，而以顶点为弧头的表容易得到顶点的入度，即逆邻接表。

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对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可

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图的遍历

两种遍历方法：

深度优先搜索和广度优先搜索

深度优先搜索

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广度优先搜索类似于树的层次遍历

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广度优先算法需要用到队列

算法分析：广度优先算法和深度优先算法时间复杂度是一样的，他们都取决于查找邻接点的复杂度