一、图的概念
图的定义
1、图 在树形结构中，结点间具有层次关系，每一层结点只能和上一层中的至多一个结点相关， 但可能和下一层的多个结点相关。而在图结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之 间的邻接关系可以是任意的
图G:是由集合V和E组成，记成G=(V,E)； V 是顶点集(非空)；E 是边集 （可空）;边是顶点的有序对或无序对;（边反映了两顶点之间的关系）
2、有向图 ：边是顶点的有序对的图（图中每条边都用箭头指明了方向）一个具有 n 个顶点的有向完全图的弧 数为 n(n-1)
3、无向图 ：边是顶点的无序对的图。一个具有 n 个顶点的无向完全图的边 数为 n(n-1)/2。
4、权、带权图： 图的边附带数值，这个数值叫权。权在实际应用中可表示从一个顶点到另一个顶点的 距离、代价或耗费等。每条边都带权的图称为带权图。
5、顶点的度、入度、出度
- 无向图中顶点 v 的度是与该顶点相关联的边的数目，记为 D(v)。
- 如果 G 是一个有向图，则把以顶点 v 为终点的弧的数目称为 v 的入度，记为 ID(v)； 把以顶点 v 为始点的弧的数目称为 v 的出度，记为 OD(v)。 有向图中顶点 v 的度等于入度与出度的和，即 D(v)=ID(v)+OD(v)。
6、子图：设 G=(V，E)是一个图，若 E'是 E 的子集，V'是 V 的子集，并且 E'中的边仅与 V'中的 顶点相关联，则图 G'=(V'，E')称为图 G 的子图。
7、路径、路径长度 ：在无向图 G= (V，E)中，从顶点 v 到顶点 v'的路径是一个顶点序列：v，vi1，vi2，…， vim, v',其中(v, vi1)，（vi1，vi2)，…，（vim，v')为图 G 中的边。 若 G 是有向图，则要求这个顶点序列满足：<v，vi1>, <vi1，vi2>，…，<vim，v'>为图 G 中的弧。 路径上边(或弧)的数目称为路径长度。
9、简单路径：除第一个和最后一个外，其余各顶点均不相同的 路径 。
10、 回路 ：第一个和最后一个顶点相同的路径，也称环；
11、 简单回路： 第一个和最后一个顶点相同的简单路径；注：回路中可以有多个圈，而简单回路只能有一个圈。
生成树：含有该连通图的全部顶点的一个极小连通子图。若连通图G的顶点个数为n，则G的生成树的边数为n-1。
G的子图G’边数大于n-1,则G’中一定有环。
G的子图G’边数小于n-1,则G’中一定不连通。
生成森林——在非连通图中，每个连通分量都可得到一个极小连通子图，也就是生成树。这些生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
图的运算：
➢建立图 GreateGraph(G,V,E)
➢取顶点信息 GetVex(G,u)
➢取边信息 Getarc(G,u,v)
➢查询第一个邻接点FirstVex(G,u)
➢查询下一个邻接点NextVex(G,u,v)
➢插入顶点 InsertVex(G,v)
➢删除顶点 DeleteVex(G,v)
➢插入边 InsertArc(G,v,w)
➢删除边 DeleteArc(G,v,w)
➢遍历图 Travers(G,tag)
二、图的存储结构
1、图的邻接矩阵： 表示图的各顶点之间关系的矩阵，邻接矩阵就是用矩阵来描述图中顶点之间的关联关系，在程序设计语言中很容易用二维 数组来实现矩阵
无向图：无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵；顶点 vi的度是邻接矩阵中第 i 行(或第 i 列)的元素之和。
有向图：顶点 vi的出度 OD (vi)是邻接矩阵中第 i 行元素之和，顶点 vi的入度 ID (vi) 是邻接矩阵中第 i 列元素之和
2、带权图( 网) 的邻接矩阵
3、邻接表：邻接表是顺序存储与链式存储相结合的存储方法。
结论：
1）n个顶点、e条边的无向图，则其邻接表的表头结点数为n，链表结点总数为2e；
2）对于无向图，第i个链表的结点数为顶点V i 的度；对于有向图，第i个链表的结点数为顶点V i 的出度；
3）在边稀疏时，邻接表比邻接矩阵省单元；
4）邻接表表示在检测边数方面比邻接矩阵表示效率要高。
三、图的遍历
图的遍历 ：从图G 中某一顶点v 出发，顺序访问各顶点一次
为克服顶点的重复访问，设立辅助数组visited[n]。visited[i]=1 顶点i已被访问过；visited[i]=0 顶点i未被访问过
遍历方法：
- 深度优先搜索法DFS （类似先序遍历）
- 广度优先搜索法BFS（类似层次遍历）
1、连通图的深度优先搜索（DFS）
深度优先搜索法算法：对图按深度优先遍历的递归算法（ 邻接表 ） 时间复杂度：O(n+e)
深度优先搜索法算法：对图按深度优先遍历的递归算法 （ 邻接矩阵 ）时间复杂 度 ：O(n*n )
2、连通图的广度优先搜索法（BFS）
判断图的连通性:对图G 调用一次DFS 或BFS ，得到一顶点集合，然后将之与V(G) 比较，若两集合相等，则图G 是连通图，否则就说明有未访问过的顶点，因此图不连通
求图的连通分量:从无向图的每个连通分量的一个顶点出发遍历，则可求得无向图的所有连通分量。
3、最小生成树 ：一个图的最小生成树是图所有生成树中权总和最小的生成树。
构造最小生成树的 Prim 算法：适合于求边稠密的带权图的最小生成树
构造最小生成树的克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：适合于求边稀疏的网的最小生成树
单源最短路径 给定一个带权有向图 G=(V，E)，其中每条边的权是非负实数。另外，给定 V 中的一个 顶点， 称为源。要计算从源到其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路径上各边权 值之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。 Dijkstm 算法求单源最短路径问题
四、拓扑排序
AOV 网：如果以图中的顶点来表示活动，有向边表示活动之间的优先关系，这种用顶点表示活 动的有向图称为 AOV 网。AOV 网中的弧表示了活动之间存在着的制约关
完成拓扑排序的前提条件是 AOV 网中不允许出现回路。
拓扑排序算法的时间复杂度为 O(n+e)
有向图拓扑排序算法的基本步骤：
- (1) 图中选择一个入度为 0 的顶点，输出该顶点；
- (2) 从图中删除该顶点及其相关联的弧，调整被删弧的弧头结点的入度（入度减 1)；
- (3) 重复执行（1）、（2）直到所有入度为 0 的顶点均被输出，拓扑排序完成，或者图中 再也没有入度为 0 的顶点。
可以证明，任何一个无环有向图，其全部顶点可以排成一个拓扑序列。
