第五章：图（图的存储方法）

1.邻接矩阵法

下面是一个无向图的表示，我们使用一个一维数组存放点集，使用一个二维数组存放边集

二维数组表示边：行号表示其实端点，列号表示结束端点，值表示该边是否存在，以及该边的权重，我们称这种二维数组表示的矩阵为邻接矩阵

邻接矩阵法：

结点数位n的图G=(V,E)的邻接矩阵A是n*n的(每个行号表示一个结点每个列号表示一个结点，n个结点即为n*n)
将G的顶点编号为 V1，V2，V3…Vn (1，2，3…数组下标)
若<Vi,Vj> 存在，则A[i][j]=1，否则A[i][j]=0

注意有向边和无向边是不一样的，有向边 Vi---->Vj，则存放A[i][j]=1，若无向边Vi-------Vj，则存放A[i][j]=1、A[j][i]=1 .

有向图邻接矩阵：

无向图邻接矩阵：（关于对角线对称）

有权重的图：

有向边 Vi---->Vj，则存放A[i][j]=Wi,j，若无向边Vi-------Vj，则存放A[i][j]=Wi,j、A[j][i]=Wi,j .

网转邻接矩阵

语言实现

#define MaxvertexNum 100 
typedef char VertexType; //每个结点时字符型的(类型可自行调整)
typedef int EdgeType; //可表示便是否存在、边的权重(类型可以自行调整)
typedef struct{
    
     
     VertexType Vex[MaxVertexNum];//点集数组
     EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//边集数组
     int vexnum,arcnum;//结点的数量和边的数量
}MGraph;

邻接矩阵法的空间复杂度位O(n^2)

2.邻接矩阵性质

性质1：邻接矩阵法的空间复杂度位O(n^2)，适用于稠密图

因为无论该边是否存在，我们都会为其申请空间，所以稠密图也就是边越多的图它的空间利用率也就越高

性质2：无向图的邻接矩阵为对称矩阵

性质3：无向图中第 i 行(或第 i 列)非0元素(非正无穷)的个数为第 i 个顶点的度;有向图中第 i 行(第 i 例)非0元素(非正无穷)的个数为第 i 个顶点的出度(入度)

设图G的邻接矩阵为A，矩阵运算A^n的含义？？

我们先看A^2，首先两个矩阵，我们知道A^2[2][5]=1*1+0*0+1*1+0*0+0*0=2

首先第一个1*1：第一个1代表B->A，第二个1代表A->E，相乘代表B->E存在一条B->A->E的路径，第二个1*1：第一个1代表B->C，第二个1代表C->E，相乘代表B->E存在一条:B->C->E的路径。

所以：A^2[2][5]=2表示从顶点V2(B)到顶点V5(E)长度为2的路径有两条。(长度为2因为是的A方，两条是因为值为2)

现在我们再看A^3,首先两个矩阵，一个是A^2，一个是A

则：A^3[2][5]=0*0+0*0+1*1+1*0+2*0=1，首先我们知道A^2[2][3]=1表示从顶点V2->V5长度为2的路径只有一条，则A^3[2][5]=1表示从顶点V2到顶点V5长度为3的路径只有一条

综上我们可知A^n[i][j]表示从顶点vi到顶点Vj长度为n的路径的条数

2.邻接矩阵表

上面讲解了邻接矩阵法，对于上面的稀疏图，我们如果采用邻接矩阵法存储的话，会出现很多空间的浪费即

邻接矩阵法存储稀疏图会有许多空间浪费 ，对于稀疏图我们通常采用邻接表法存储

邻接表法：为每一个顶点建立一个单链表存放与它相邻的边

顶点表：采用顺序存储，每个数组元素存放顶点的数据和边表的头指针
边表(出边表)：采用链式存储，单链表中存放与一个顶点相邻的所有边，一个链表结点表示一条从该顶点到链表结点顶点的边

3.邻接表法

有向图：

无向图：

代码实现

#define MaxVertexNum 100 
//边表
typedef struct ArcNode{
    
     
    int adjvex; //下一个结点的下标
    struct ArcNode *next;//指针指向下一个边表结点
    //InfoType info; //表的权重
}ArcNode;
//顶点表
typedef struct VNode{
    
     
    VertexType data;//数据
    ArcNode *first //指向属于它的边表的头指针
}VNOode,AdjList [MaxVertexNum];//数组类型
//邻接表
typedef struct{
    
     
    AdjList vetices;//顶点表
    int vexnum,arcnum;//顶点数量和边的数量
}ALGraph;

‘
邻接表特点

V表示顶点数量、E表示边的数量

若G为无向图，存储空间为O(V+2E)
若G为有向图，存储空间为O(V+E)
邻接表更加适用于稀疏图
若G为无向图，则结点的度为该结点边表的长度
若G为有向图，则结点的出度为该结点边表的长度，计算入度则要遍历整个邻接表
邻接表不唯一，边表结点的顺序根据算法和输入的不同可以能会不同

4.邻接矩阵VS邻接表

5.十字链表

·十字链表：有向图 的一种链式存储结构

我们在邻接表中可以发现，如果寻找一个结点的出度，非常方便，直接遍历该节点的边表即可，但是如果想找一个结点的入度则需要遍历整个邻接表比较复杂，所以我们引入了十字链表，它无论是查询结点的出度和入度都比较简单。

顶点表结点

data：数据域
firstin：入边单链表的头指针
firstout：出边单链表的头指针

边表结点

tailvex：该弧弧尾端点
headvex：该弧弧头端点
hlink：下一个弧弧头的指针
tlink：下一个弧弧尾的指针
info：边的权重

代码实现

#define MaxVertexNum 100 
typedef struct ArcNode{
    
     
       int tailvex,headvex; 
       struct ArcNode *hlink,*tlink; 
       //InfoType info: 
}ArcNode; 
typedef struct VNode{
    
     
       VertexType data; 
       ArcNode *firstin,*firstout; 
}VNode;
typedef struct{
    
     
       VNode xlist[MaxVertexNum];
       int vexnum, arcnum; 
}GLGraph;

6.邻接多重表

上面讲的·十字链表是 有向图 的一种链式存储结构，而邻接多重表则是针对无向图的一种链式存储结构。

我们在邻接表中如果想要删除一条无向边，我们需要找到对应的结点，然后遍历其边表，找到对应的边表结点并把它删除，这样操作的效率比较低。由此引出邻接多重表

ivex：该边的第一个端点
ilink：与第一个端点相邻的下一个边的边表结点的指针
jvex：该边的第二个端点
jlink：与第二个端点相邻的下一个边的边表结点的指针
info：权重（不必要）
mark：标记（不必要）

#define MaxVertexNum 100 
typedef struct ArcNode{
    
     
       int ivex, jvex; 
       struct ArcNode *ilink, *jlink; 
       //InfoType info; 
       //bool mark: 
}ArcNode;
typedef struct VNode{
    
     
       VertexType data; 
       ArcNode *firstedge; 
)VNode;
typedef struct{
    
     
       VNode adjmulist[MaxVertexNum];
       int vexnum, arcnum; 
}AMLGraph;

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