算法的时间复杂度分析之O(logn)、O(nlogn)

复杂度分析之O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

int i = 1;
 while (i <= n)  {
    
    
   i = i * 2;
 }

根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 $\text{2x=n}$ 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。$x={\log }_{2}n$，所以，这段代码的时间复杂度就是 $O({\log }_{2}n)$。现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？

int i=1;
 while (i <= n)  {
    
    
   i = i * 3;
 }

根据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 $O({\log }_{3}n)$。

实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 $O({\log }_{}n)$。为什么呢？我们知道，对数之间是可以互相转换的，$O({\log }_{3}n)$就等于 $O({\log }_{3}2)$* $O({\log }_{2}n)$，所以$O({\log }_{3}n)$ = $O(C\ast {\log }_{2}n)$，其中 $C={\log }_{3}2$ 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 $\text{O}$ 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 $O(Cf(n))=O(f(n))$。所以，$O({\log }_{2}n)$ 就等于 $O({\log }_{3}n)$。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽对数的“底”，统一表示为 $O({\log }_{}n)$。如果你理解了我前面讲的 $O({\log }_{}n)$，那 $O(n{\log }_{}n)$ 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？

如果一段代码的时间复杂度是 $O({\log }_{}n)$，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是$O(n{\log }_{}n)$ 了。而且，$O(n{\log }_{}n)$ 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 $O(n{\log }_{}n)$ 。

换底公式说明

$${\log }_{b}N=\frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$$
运用换底公式
$${\log }_{3}N=\frac{{\log }_{10}N}{{\log }_{10}3}=\frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}3}\ast \frac{{\log }_{10}N}{{\log }_{10}2}$$
再次运用换底公式，将两个分数简化。
$${\log }_{3}N={\log }_{3}2\ast {\log }_{2}N$$

总结

常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

转自数据结构与算法之美