DCT算法原理 & 频域均衡器

参考博文

https://blog.csdn.net/orbit/article/details/45485197
参考此博文中频域均衡器使用，加深对离散fft算法理解

1.频域均衡器

2.DCT算法原理

2.1一维DCT变换公式

$F(u)=C(u)\sum\limits_{i=0}^{N-1}cos\frac{(2i+1)\pi}{2N}f(i)$
其中N表示一维数据的点的总数
$C(u)=\left\{ \begin{aligned} & \sqrt\frac 1n\\ & \sqrt\frac 2n\\ \end{aligned} \right.$
一维DCT变换的复杂度是O(n^2)。

2.2二维DCT变换公式

$F(u,v)=C(u)C(v)\sum\limits_{i=0}^{N-1}\sum\limits_{j=0}^{N-1}cos\frac{(2i+1)\pi}{2N}cos\frac{(2j+1)\pi}{2N}f(i,j)$
可以发现，二维DCT变换其实是在一维DCT变换的基础上，再做一次一维DCT变换。二维DCT也可以写成矩阵相乘的形式：

二维DCT变换的复杂度达到O(n^4)，所以进行DCT变换的矩阵不宜过大。在实际处理图片的过程中，需要先把矩阵分块，一般分为8x8或16x16大小，这样DCT变换不至于耗费过多的时间。

2.2.1二维DCT变换推导

dct变换核心公式：

$Y=C\times{X}\times{C^T}$
其中 ${C}$为正交矩阵 ${C}\times{C^T}=E$， ${C}$具体表达为
$\begin{bmatrix} a&a&a&a\\ {b}&{c}&{-c}&{-b}\\ a&-a&-a&a\\ {c}&{-b}&{b}&{-c} \end{bmatrix}$
其中 $a$= $\frac{1}{2}$, $b$= $\sqrt\frac12cos\frac\pi{8}$, $c$= $\sqrt\frac12cos\frac{3\pi}{8}$进一步推导可转换为如下变换：
$Y=B\times{X}\times{B^T}\bigoplus{D}$
其中 $B$可表示为如下矩阵：
$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ {1}&{\frac12}&{-\frac{1}2}&{1}\\ 1&-1&-1&1\\ {\frac12}&{-1}&{1}&{-\frac12} \end{bmatrix}$
矩阵 $D$表示为如下矩阵：
$\begin{bmatrix} a^2&{ab}&a^2&{ab}\\ {ab}&{b^2}&{ab}&{b^2}\\ a^2&{ab}&a^2&{ab}\\ {ab}&{b^2}&{ab}&{b^2}\\ \end{bmatrix}$
进一步将实数运算简化为整数运算，可将矩阵 $B$变换为 $B'$，矩阵 $D$变化为 $D'$，矩阵 $B'$的表达式为
$\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ {2}&{1}&{-1}&{2}\\ 1&-1&-1&1\\ {1}&{-2}&{2}&{-1} \end{bmatrix}$
矩阵 $D'$的表达式为
$\begin{bmatrix} a^2&\frac{ab}{2}&a^2&\frac{ab}{2}\\ {\frac{ab}{2}}&\frac{b^2}{4}&{\frac{ab}{2}}&\frac{b^2}{4}\\ a^2&\frac{ab}{2}&a^2&\frac{ab}{2}\\ {\frac{ab}{2}}&\frac{b^2}{4}&{\frac{ab}{2}}&\frac{b^2}{4}\\ \end{bmatrix}$

2.2.2DCT公式详细推导过程

$Y=C\times{X}\times{C^T}$
如何演变为 $Y=B\times{X}\times{B^T}\bigoplus{D}$给出说明
$C=$ $\begin{bmatrix} a&a&a&a\\ {b}&{c}&{-c}&{-b}\\ a&-a&-a&a\\ {c}&{-b}&{b}&{-c} \end{bmatrix}$假设 $d=\frac cb$那么
$C=\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&0&0\\ 0&0&a&0\\ 0&0&0&b\\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&d&-d&-1\\ 1&-1&-1&1\\ d&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}$
进一步变换可得

$C^T=\begin{bmatrix} 1&1&1&d\\ 1&d&-1&-1\\ 1&-d&-1&1\\ 1&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&0&0\\ 0&0&a&0\\ 0&0&0&b\\ \end{bmatrix}$

$Y=C\times{X}\times{C^T}=\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&0&0\\ 0&0&a&0\\ 0&0&0&b\\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&d&-d&-1\\ 1&-1&-1&1\\ d&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}\times X \times\begin{bmatrix} 1&1&1&d\\ 1&d&-1&-1\\ 1&-d&-1&1\\ 1&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&0&0\\ 0&0&a&0\\ 0&0&0&b\\ \end{bmatrix}$
对角矩阵移项得到
$\begin{bmatrix} a^{-1}&0&0&0\\ 0&b^{-1}&0&0\\ 0&0&a^{-1}&0\\ 0&0&0&b^{-1}\\ \end{bmatrix} \times Y \times \begin{bmatrix} a^{-1}&0&0&0\\ 0&b^{-1}&0&0\\ 0&0&a^{-1}&0\\ 0&0&0&b^{-1}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&d&-d&-1\\ 1&-1&-1&1\\ d&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}\times X \times\begin{bmatrix} 1&1&1&d\\ 1&d&-1&-1\\ 1&-d&-1&1\\ 1&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}$
$Y \bigoplus \begin{bmatrix} a^{-2}&{ab^{-1}}&a^{-2}&{ab^{-1}}\\ {ab^{-1}}&{b^{-2}}&{ab^{-1}}&{b^{-2}}\\ a^{-2}&{ab^{-1}}&a^{-2}&{ab^{-1}}\\ a^{-2}&{ab^{-1}}&a^{-2}&{ab^{-1}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\ 1&d&-d&-1\\ 1&-1&-1&1\\ d&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}\times X \times\begin{bmatrix} 1&1&1&d\\ 1&d&-1&-1\\ 1&-d&-1&1\\ 1&-1&1&-d\\ \end{bmatrix}$
其中d为0.4142,为实数，此时令d=1/2，设置 $b=\sqrt \frac 2{5}$ $c=\sqrt \frac 1{10}$，经过行列缩放变换后可得整数变换式子 $Y=B'\times{X}\times{B'^T}\bigoplus{D'}$

3.快速沃尔什变换（ Fast Walsh-Hadamard Transform）

简单讲就是位运算卷积的一种处理方法，下面将or、and、xor三种位运算分别讲述FWT的推导以及使用方法。

$C_k$= $\sum\limits_{i+j=k}$ $A_i$+ $B_j$是多项式卷积的基础表达形式
$C_k$= $\sum\limits_{i|j=k}$ $A_i$+ $B_j$是或运算卷积
$C_k$= $\sum\limits_{i\&j=k}$ $A_i$+ $B_j$是和运算卷积
$C_k$= $\sum\limits_{i\bigoplus j=k}$ $A_i$+ $B_j$是异或运算卷积