动态规划之--背包问题

1、什么是动态规划？

定义：
动态规划算法是通过拆分问题，定义问题转台和状态之间的关系，使得这些问题能够以递推的方式去解决。
动态规划算法的基本思想和分治法类似，也是将待求解的问题分解成若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
基本思想和策略
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
(来自百度百科)

2、介绍

1）、动态规划算法的核心思想是：将大问题划分成小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2）、动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题的解，然后从这些子问题的解中得到原问题的解。
3）、与分治算法不同的是，适合用于动态规划求解的问题，经过分解的子问题，往往不是互相独立的。（下一个子阶段的求解都是建立在上一个子阶段的解基础之上的，进行进一步的求解）
4）、动态规划问题，可以通过填表的方式，逐步推进，得到最优解

动态规划的主要难点在于理论上的设计，也就是上面4个步骤的确定，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。

 使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素：

（1）问题的阶段 （2）每个阶段的状态

（3）从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。

 递推关系必须是从次小的问题开始到较大的问题之间的转化，从这个角度来说，动态规划往往可以用递归程序来实现，不过因为递推可以充分利用前面保存的子问题的解来减少重复计算，所以对于大规模问题来说，有递归不可比拟的优势，这也是动态规划算法的核心之处。

确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值（如最短路径，最长公共子序列，最大价值等），填表的过程就是根据递推关系，从1行1列开始，以行或者列优先的顺序，依次填写表格，最后根据整个表格的数据通过简单的取舍或者运算求得问题的最优解。

      f(n,m)=max{
    
    f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

3、实践：背包问题

1）、要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并重量不超出
2）、要求装入的物品不能重复

思路分析和图解
1）、背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大，其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2) 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
3) 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品 放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个 单元格的装入策略
(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式: v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值 v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值 当 j>=w[i]时：
v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

图解分析：

代码实现：

package com.atlizy.dynamic;

/**
 * 动态规划之  背包问题
 * 假设有一个背包 只能放下4kg的物品  此时有三种物品 请问怎么放才能放下价值最大的
 * 钢琴  1kg    1500元
 * 吉他  4kg    3000元
 * 钢笔  3kg    2000元
 *
 * @author li
 * @Created by li on 2020/8/28    18:40.
 */
public class KnapsackProblem {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        int[] v = {
    
    1500, 3000, 2000};
        int[] w = {
    
    1, 4, 3};
        KnapsackProblem knapsackProblem = new KnapsackProblem(v, w, 4);
        knapsackProblem.getMax();
    }
    int b;//背包容量
    private int[][] f;
    private int[] v;//依次传入物品的价格
    private int[] w; //依次传入物品的重量

    public KnapsackProblem(int[] v, int[] w, int b) {
    
    
        this.b = b;
        this.v = v;
        this.w = w;
    }
    public void getMax() {
    
    
        //商品放入的动态规划表
        f = new int[v.length + 1][b + 1];
        //为了记录商品的放入顺序 我们需要定义一个二维数组 记录一下放入的过程
        int[][] path = new int[v.length + 1][b + 1];
        //根据公式来进行处理
        for (int i = 1; i < f.length; i++) {
    
    //第一行不处理
            for (int j = 1; j < f[0].length; j++) {
    
    //不处理第一列
                if (w[i - 1] > j) {
    
    //程序的i是从1开始的
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                } else {
    
    
                    //我们的i是从1开始的，我们需要把v[i]改成v[i-1]
//                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], v[i - 1] + f[i - 1][j - w[i - 1]]);
                    if (f[i - 1][j] < v[i - 1] + f[i - 1][j - w[i - 1]]) {
    
    
                        f[i][j] = v[i - 1] + f[i - 1][j - w[i - 1]];
                        path[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < f.length; i++) {
    
    
            for (int j = 0; j < f[i].length; j++) {
    
    
                System.out.print(f[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
            //经过上面的代码 我们已经获取的动态规划的表  我们只需要将最大值的放入方式打印出来就可以了
        int i = path.length-1;//行的最大下标
        int j = path[0].length-1;//列的最大下标
        while(i>0 &&j>0){
    
    //从后面开始遍历
            if(path[i][j]==1){
    
    
                System.out.println("第"+i+"个商品放入背包");
                j-=w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}