Higher-order clustering in networks摘要

##介绍
  网络是复杂系统的基本工具，即使有的网络是稀疏的，依然会有的边趋向于出现在小的聚集结构中，这种聚集结构可以解释为局部演化过程。例如社会网络中聚集结构的出现是源于三角形，其中两个人共有一个朋友，则更可能成为朋友，形成闭三角。聚集系数是度量网络中的三角形数量，定义为三节点中闭合的比例。然而聚集系数是有限制的，只涉及三角形，更多节点的高阶结构也是重要的，四节点就反映词组和蛋白质网络的结构，但是高阶结构的聚集系数是没有的。这里根据测量高阶结构中闭合的比例提出高阶聚集系数。
  首先考虑二节点团，找到与之相连的第三条边和节点，原来的聚集系数就是这种三节点结构中闭合的比例$$C=\frac{6|K_3|}{|W|}\text{\hspace{1em}(1)}$$
相应可以定义局部聚集系数$$C(u)=\frac{2|K_3(u)|}{|W(u)|}\text{\hspace{1em}(2)}$$
平均聚集系数$$\overline{C}=\frac{1}{|\tilde{V}|}\sum _{u\in \tilde{V}}C(u)\text{\hspace{1em}(3)}$$
类似的，由$l$节点团扩展到$l+1$节点，则$$C_l=\frac{(l^2+l)|K_{l+1}|}{|W_l|}\text{\hspace{1em}(4)}$$
局部聚集系数$$C_l(u)=\frac{l|K_l+1(u)|}{|W_l(u)|}\text{\hspace{1em}(5)}$$
平均聚集系数$${\overline{C}}_l=\frac{1}{|{\tilde{V}}_l|}\sum _{u\in {\tilde{V}}_l}{C}_l(u)\text{\hspace{1em}(6)}$$
$$|W_l(u)|=|K_l(u)|(d_u-l+1)\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中$d_u$S 节点$u$的度，替换公式$(5)$则有
$$C_l(u)=\frac{l|K_{l+1}(u)|}{(d_u-l+1)|K_l(u)|}\text{\hspace{1em}(8)}$$
通过枚举所有$l+1$和$l$节点的团，能计算局部$lth-order$的聚集系数，复杂度取决于枚举的时间，使用Chiba和Nishizeki算法，复杂度是$O(l{a}^{l-2}m)$，其中$m$是边数，$a$是一种边密度。$a$可能与$\sqrt{m}$一样大，若$l$为常数，则是多项式时间，在至少$l$节点上确定是否有一个团是$NPC$问题。对于全局聚集系数，则有$|W_l|={\sum }_{u\in V}|W_l(u)|$。
局部聚集系数可以解释成从所有以节点$u$为中心的wedge中随机挑选的一个是闭合的概率$$C_l(u)=\mathbb{P}[w\in K_{l+1}(u)]\text{\hspace{1em}(10)}$$
定义1-hop邻居图$N_1(u)$，节点$u$周围相邻的节点组成$N_1(u)$的节点，原来的这些节点之间的连边组成$N_1(u)$的边。于是公式$(8)$为$$\frac{l|K_l[N_1(U)]|}{(d_u-l+1)|K_{l-1}[N_1(u)]|}\text{\hspace{1em}(11)}$$
其中$K_k[N_1(u)]$记为$N_1(u)$中有$k$节点团的个数。如果从$N_1(u)$随机选$l-1$节点团，然后再从剩下的点选一个节点$v$，这$l$个点组成$l$节点团的概率就是 (12) C l ( u ) = P [ K ∪ { v } ∈ K l [ N 1 ( u ) ] ] C_l(u)=\mathbb{P}[K\cup\{v\}\in K_l[N_1(u)]]\tag{12} Cl​(u)=P[K∪{ v}∈Kl​[N1​(u)]](12)
$C_{l-1}(u)\cdot C_l(u)$是$l-1$节点团和两个随机挑选节点组成$l+1$节点团的概率，则$$\prod _{j=2}^l{C}_j(u)=\frac{|K_l[N_1(u)]|}{{(}_l^{d_u})}\text{\hspace{1em}(13)}$$

  对于任意固定$l>3$，$$0\le C_l(u)\le \sqrt{C_2(u)}\text{\hspace{1em}(14)}$$
1.存在有限图$G$使下界成立，当$C_2(u)\in [0,\frac{l-2}{l-1}]$。
2.存在有限图$G$使上界成立，当$C_2(u)\in [0,1]$。
  $0\le C_l(u)$是显然的，当$N_1(u)$如上图2所示时，$C_2(u)=\frac{l-2}{l-1}$，通过删去一些边可使范围在$[0,\frac{l-2}{l-1}]$。定义$${\delta }_l[N_1(u)]=\frac{|K_l[N_1(u)]|}{{(}_l^{d_u})}\text{\hspace{1em}(15)}$$记为$N_1(u)$的$l-clique$密度，由文献中的定理则有$${\delta }_l[N_1(u)]\le [{\delta }_{l-1}[N_1(u)]{]}^{l/(l-1)}$$
$$\delta [N_1(u)]\le [{\delta }_2[N_1(u)]{]}^{(l-1)/2}$$
再由公式$(8)$知
$$C_l(u)\le [{\delta }_{l-1}[N_1(u)]{]}^{\frac{1}{l-1}}\le \sqrt{{\delta }_2[N_1(u)]}=\sqrt{C_2(u)}$$
若$N_1(u)$由$c$个节点的$clique$和$b$个孤立节点组成，当$l=2$时有
$$C_l(u)=\frac{{(}_2^c)}{{(}_2^{c+b})}=\frac{(c-1)c}{(c+b-1)(c+b)}\to (\frac{c}{c+b}{)}^2$$
当$3\le l\le c$时有
$$C_l(u)=\frac{l{(}_l^c)}{(c+b-l+1){(}_{l-1}^c)}=\frac{c-l+1}{c+b-l+1}\to \frac{c}{c+b}$$
当$d_u\to \infty$时有$C_2(u)\in [0,1]$，且$C_l(u)\to \sqrt{C_2(u)}$。
  现在来看高阶聚类系数在随机图模型的情况，其中每条边都有独立的概率$p$，为了使图中至少有一个$l-wedge$，这里假设$l$比较小，设$p$和$n$都比较大，则对于任意$ϵ>0$，clique的节点数量小于$(2+ϵ)logn/log(1/p)$。在$G_{n,p}$模型中，当且仅当$l-clique$中有$l-1$条边出现并有另外一节点与之相邻时，则形成$l-wedge$，这$l-1$条边的存在概率与$p^{l-1}$有关。
  令$G$为随机图模型$G_{n,p}$，对于常数$l$，
$(1){\mathbb{E}}_G[C_l]=p^{l-1}$
$(2){\mathbb{E}}_G[C_l(u)|W_l(u)>0]=p^{l-1}$
$(3){\mathbb{E}}_G[{\overline{C}}_l]=p^{l-1}$
  $$\begin{gathered} \mathbb{E}[C_l]={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l}[C_l|W_l]] \\ =\mathbb{E}[{\mathbb{E}}_{W_l}[\frac{1}{|W_l|}{\sum }_{w\in W_l}\mathbb{P}[wisclosed]]] \\ ={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l}[\frac{1}{|W_l|}{\sum }_{w\in W_l}{p}^{l-1}]] \\ ={\mathbb{E}}_G[p^{l-1}] \\ =p^{l-1} \end{gathered}$$
对于比较小的$l$，第二个等号成立，第三个等号成立是因为当且仅当$l-1$条边存在时，l-wedge是闭合的。第二部分的证明本质上是相同的，不同的是条件期望是基于所有可能的$W_l(u)>0$。$\tilde{V}$是至少在一个l-wedge中的节点集合，基于$\tilde{V}$的条件期望，加上第二部分结论，能有第三部分结果。以上的全局、局部和平均聚集系数随$l$增大而指数减小。
$G$是$G_{n,p}$模型的随机图，对于常数$l$，
$${\mathbb{E}}_G[C_l(u)|C_2(u),W_l(u)>0]=[C_2(u)-[1-C_2(u)]O(1/d_u^2){]}^{l-1}\approx [C_2(u){]}^{l-1}$$
基于$W_l(u)>0$的条件期望
$${\mathbb{E}}_G[C_l(u)|C_2(u),W_l(u)>0]={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l(u)>0}[C_l(u)|C_2(u),W_l(u)]]={\mathbb{E}}_G[{\mathbb{E}}_{W_l(u)>0}[\frac{1}{|W_l(u)|}\sum _{w\in W_l(u)}\mathbb{P}[wclosed|C_2(u)]]]$$
注意到$N_1(u)$有$m=C_2(u){(}_2^{d_u})$条边，对于$w\in W_l(u)$来说，其中$W_l(u)$就有${(}_2^{l-1})$条边，剩余$q=m-{(}_2^{l-1})$条边，在剩下的$r={(}_2^{d_u})-{(}_2^{l-1})$个节点对中随机出现。这些边出现的可能有${(}_q^r)$种，而$w$要形成闭合的，则有${(}_{q-l+1}^{r-l+1})$种，于是
$$\mathbb{P}[wisclosed|C_2(u)]=\frac{{(}_{q-l+1}^{r-l+1})}{{(}_q^r)}=\frac{(r-l+1)!q!}{(q-l+1)!r!}=\frac{(q-l+2)(q-l+3)\dots q}{(r-l+2)(r-l+3)\dots r}$$
对于任意小的非负整数$k$，$$\frac{q-k}{r-k}=\frac{C_2(u)\cdot {(}_2^{d_u})-{(}_2^{l-1})-k}{{(}_2^{d_u})-{(}_2^{l-1})-k}=C_2(u)-[1-C_2(u)][\frac{{(}_2^{l-1})+k}{{(}_2^{d_u})-{(}_2^{l-1})-k}]=C_2(u)-[1-C_2(u)]O(1/d_u^2)$$
当$C_2(u)\to 1$且$d_u\to \infty$时，上式趋于$[C_2(u){]}^{l-1}$。
上式结果是基于随机图的结果，但是实际网络可能与此不同，如果实际计算的$C_l(u)\approx [C_2(u){]}^{l-1}$，其中$C_2(u)$比较大，则类似于随机图，节点$u$的邻居节点是密集但随机的，若$C_2(u)$比较大，$C_l(u)>[C_2(u^{l-1})]$，则是密集且有结构的。