之前也做过这类题，现在做又忘了，整理一下。
ACM中遇到逆序数最多的就是 全排列+逆序数
引入
这样一题：
给出n个数字，求使用冒泡排序所需要交换的次数（n到5e5）（POJ2299）
问题可以转化为求逆序数。
不多解释，一般有两种方法。
一：线段树或树状数组（树状数组本身就是线段树的变式）（这里不是重点，略过）
二：归并排序。
下面归并排序模板（需要一个辅助数组）
int b[maxn];
void ms(int l,int r){
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
ms(l,mid); ms(mid+1,r);
int x=l,y=mid+1;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(y>r||(x<=mid&&a[x]<=a[y])) b[i]=a[x++];
else b[i]=a[y++];
}
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
}
而这题：
int b[maxn];
int ms(int l,int r){
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
int ans=ms(l,mid)+ms(mid+1,r);
int x=l,y=mid+1;
for(int i=l;i<=r;i++){
if(y>r||(x<=mid&&a[x]<=a[y])) b[i]=a[x++];
else{
b[i]=a[y++];
ans+=mid-x+1; //区别
}
}
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
return ans;
}
但今天不止于此，还看了其他定理。
正文
一些详细证明在下面这个博客：链接（这很重要）
一、根据逆序数求排列数
问题：给定一个n元排列，它的逆序数存在且唯一。那么反过来，已知一个n元排列的逆序数为m，这样的n元排列有多少种？
分析：我们用f(n,m)表示逆序数为m的n元排列的个数,则求满足条件的排列个数问题就转化为求f(n,m)的值的问题。
为了得到最终结果，我们先研究f(n,m)的性质。可以得到以下几个命题：
[命题1] 对任意n>=2且0<=m<=C(n,2)时f(n,m)>=1；当m>C(n,2)时,f(n,m)=0
[命题2] f(n,m)=f(n,C(n,2)-m)
[命题3] f(n+1,m)=f(n,m)+f(n,m-1)+…+f(n,m-n)
[命题4] f(n,0)=f(n,C(n,2))=1
[命题5] f(n,1)=f(n,C(n,2)-1)=n-1(n>1)
[命题6] f(n,2)=f(n,C(n,2)-2)=C(n,2)-1(n>2)
…
同理递推下去
f(n,3)=C(n,3)-C(n,2)-C(n,1) (n>3)
f(n,4)=C(n,4)+2C(n,3)-C(n,1) (n>4)
f(n,5)=C(n,5)+3C(n,4)+2C(n,3)-C(n,2)+1 (n>5)
我们可以无限递推下去，计算f(n,k)的时候要用到前面所推导出的f(n,1)~f(n,k-1)。但是却很难得到一个通项公式。这个问题就类似于用∑(k ^ t - (k-1) ^ t) 来求∑(k ^ (t-1))，每作下一项都要用到前面所有的结果。
二、根据每个数的逆序数，然后求出原排列
找题解中
三、给定逆序数，求满足此逆序数的最小排列
定理1：
对于一个形如1,2,3,…,i-1,i,n,…i+1的排列q（如n=5时的1,2,5,4,3），即在数n前保证首项为1且严格以公差为1递增而数n之后排列任意的数列，
(1)当数n之后是递减的时候q的逆序数最多，为t=C(n-i,2)。
(2)排列q是出现逆序数为t的最小排列。
定理2
在定理1所设定的排列q的基础上，我们将数n后面的第k小数与数n的前一个数（即i）交换，然后使数n后面保持逆序。这样得到的新排列所含的逆序数为t=C(n-i,2)+k，且这个排列是逆序数为t的最小排列。
解题：
有了这两个命题作基础，我们很容易就能够得到这道题的算法。首先利用定理1，二分查找找到数n的位置，我们可以得到数n在这个位置的时候形如q的排列的逆序数t。然后计算t与m的差值，得出k，然后根据定理2进行变换，最后得出要求的排列。