CSP-Floyd算法和传递性解题
知识简述
Floyd算法是图论算法中求解全源最短路问题的权威算法。虽然其具有较高的O（n^3）复杂度，但是由于全源的特性和动态规划的求解思路，在解决全局问题（有负边无负环）时有较好的效果。受制于篇幅，此处不再讲述动态规划的证明问题，后续会退出动态规划专题进行相关的详解。
按照上面的步骤，我们可以得出下列的Floyd基本实现代码：
void Floyd(int n,int dis**)
{
for(int k=1;k<=n;k++)//外面k层是更新的次数
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
在实现时，要注意到的问题是，调整次数k在最外层，如果你记错了顺序，很可能得到错误的距离矩阵。
Floyd算法能够解决的问题：
1、求取图上任意两点间的关系（是否连通）
2、多元负权最短路，求解图上任意两点间的距离
3、求解图上的闭包，求解图上两点间的传递闭包关系
题目概述
众所周知，TT 有一只魔法猫。
这一天，TT 正在专心致志地玩《猫和老鼠》游戏，然而比赛还没开始，聪明的魔法猫便告诉了 TT 比赛的最终结果。TT 非常诧异，不仅诧异于他的小猫咪居然会说话，更诧异于这可爱的小不点为何有如此魔力？
魔法猫告诉 TT，它其实拥有一张游戏胜负表，上面有 N 个人以及 M 个胜负关系，每个胜负关系为 A B，表示 A 能胜过 B，且胜负关系具有传递性。即 A 胜过 B，B 胜过 C，则 A 也能胜过 C。
TT 不相信他的小猫咪什么比赛都能预测，因此他想知道有多少对选手的胜负无法预先得知，你能帮帮他吗？
INPUT&输入样例
第一行给出数据组数。
每组数据第一行给出 N 和 M（N , M <= 500）。
接下来 M 行，每行给出 A B，表示 A 可以胜过 B。
输入样例：
3
3 3
1 2
1 3
2 3
3 2
1 2
2 3
4 2
1 2
3 4
OUTPUT&输出样例
对于每一组数据，判断有多少场比赛的胜负不能预先得知。注意 (a, b) 与 (b, a) 等价，即每一个二元组只被计算一次。
输出样例：
0
0
4
题目重述
给定直接的胜负关系，在闭包的范围内进行胜负关系的传导。
规则：A>B&B>C --> A>C（两队之间的胜负关系只存在一种A>B或A<B）
现要求对所有闭包内的进行传递求解，并确定出有多少个闭包关系无法确定
思路概述
通读题目我们可以将题目总结如下：给定闭包的元素和闭包的已知关系，利用胜负关系进行闭包传递，最终确定出全部闭包关系。设计闭包和全源问题，自然而然就会想到Floyd算法，但是如果采用：暴力调整n^3次，遍历求取无法确定的关系个数这种方法的话，在边数较多时会出现TLE问题，因此对Floyd进行一定的优化至关重要。
根据对传递闭包的原理我们可以知道，只有满足A>B的前提下，满足第二个条件B>C，才能通过传递得出需要调整的关系A>C。如果在遍历过程中发现A与B关系不已知，可以进行剪枝优化，不再进行内层的遍历。利用这种方法，我们可以获取理想的时间性能，从而完成任务。
总结
Floyd算法的实现虽然简单，但是其体现了动态规划系列算法路径调整规划过程的美感。由于Floyd本身并不复杂且时间复杂度比较高，在比赛中常用到的是对Floyd算法进行一定的修改和优化剪枝，从而设计出能够满足要求复杂度的算法。因此，在学习Floyd算法的过程中，不应该只关注于算法本身，而是将其灵活应用，并总结出一些常用的剪枝方法，从而使Floyd能够取得较好的时间性能。
问题源码（C++）
#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int M=5e2+1;
int dis[M][M];
int point_num;
int edge_num;
int floyd()
{
int cnt=0;
for(int k=1;k<=point_num;k++)
for(int i=1;i<=point_num;i++)
{
if(dis[i][k]!=1)
{
continue;}
for(int j=1;j<=point_num;j++)
{
if(dis[i][k]==1 && dis[k][j]==1 && dis[i][j]==0)
{
dis[i][j]=1;
cnt++;
}
}
}
return cnt;
}
int main()
{
int group_num=0;
cin>>group_num;
for(int i=1;i<=group_num;i++)
{
int a=0;
int b=0;
int cnt=0;
cin>>point_num>>edge_num;
for(int j=1;j<=point_num;j++)
for(int k=1;k<=point_num;k++)
dis[j][k]=0;
for(int j=0;j<edge_num;j++)
{
cin>>a>>b;
dis[a][b]=1;
cnt++;
}
cnt+=floyd();
int res=(point_num*(point_num-1)/2)-cnt;
cout<<res<<endl;;
}
}