算法：斐波那契数列通项公式推导

9-17_算法实验报告

斐波那契数列

已知：
$$f(n)=\{\begin{array}{l}f(n-1)+f(n-2)；(n>2)\\ 1；(n=1,n=2)\end{array}$$
请使用 生成函数法 求该函数的时间复杂度。

解答

对于斐波那契数列，已知：
$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)；(n>2)$$
构造一个函数为：
$$G(x)=f(1)x+f(2)x^2+...+f(n)x^n+...$$
则有：
$$\begin{gathered} G(x)-xG(x)-x^{2}G(x)=f(1)x+f(2)x^2+...+ \\ -f(1)x^2-f(2)x^3-...- \\ -f(1)x^3-f(2)x^4-...- \end{gathered}$$
整理之后可得：
$$G(x)-xG(x)-x^{2}G(x)=f(1)x+(f(2)-f(1))x^2+(f(3)-f(2)-f(1))x^3+...+$$
则：
$$G(x)-xG(x)-x^{2}G(x)=x$$

$$G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$

通过待定系数法，拆分为：
$$\begin{gathered} G(x)=\frac{a}{1-rx}+\frac{b}{1-sx} \\ G(x)=\frac{a(1-sx)+b(1-rx)}{(1-rx)(1-sx)}=\frac{(a+b)-(as+br)x}{1-(r+s)x+rs{x}^2} \end{gathered}$$
已知：
$$\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{(a+b)-(as+br)x}{1-(r+s)x+rs{x}^2}$$
则可列出四元方程组：
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}a+b=0\\ as+bs=-1\\ r+s=1\\ rs=-1\end{array} \\ \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ b=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ s=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array} \end{gathered}$$
故利用泰勒公式：
$$\begin{gathered} G(x)=\frac{a}{1-rx}+\frac{b}{1-sx} \\ =a(1+rx+r^2{x}^2+...)+b(1+sx+s^2{x}^2+...) \end{gathered}$$
展开整理后得：
$$G(x)=(a+b)+(ar+bs)x+(a{r}^2+b{s}^2)x^2+...+(a{r}^n+b{s}^n)x^n+...$$
和一开始构造函数相比：
$$G(x)=f(1)x+f(2)x^2+...+f(n)x^n+...$$
可得 f(n) 即为：
$$f(n)=a{r}^n+b{s}^n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$$
所以最终结果为：
$$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$$
由此得 f(n) 为幂级数的差，时间复杂度为 O(n)