2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS

传送门： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7818/F

题意

给一个N*N的矩阵，每一位上都是1，求所有子矩阵的权值之和。

思路

$设n=3；$
考虑子矩阵大小为$i\ast j$的个数$x$，即该大小的所有子矩阵的权值为$x\ast i\ast j$。
$1\ast 2$子矩阵:每行个数为$2$个，有$3$列，即总权值为$2\ast 3\ast （1\ast 2）--2\ast 3$为该矩阵在n*n矩阵中的个数，$1\ast 2$为该子矩阵里的权值。
$2\ast 3$子矩阵：每两行有$1$个，一共$2$个两行，权值为$2\ast 3$，即总权值为$1\ast 2\ast 2\ast 3$。

根据上面推导出：在$n\ast n$的矩阵中，有$i\ast j$子矩阵的个数为$(n-i+1)\ast (n-j+1)$，即总权值为$(n-i+1)\ast (n-j+1)\ast i\ast j$。
即总答案为：
$$ans=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(n-i+1)\ast (n-j+1)\ast i\ast j$$

$$ans=[\sum _{i=1}^n(n-i+1)i{]}^2$$

$$ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$$

$$ans=[\frac{n\ast (n+1)\ast (n+2)}{6}{]}^2$$

因为题目说会爆longlong，所以我这里用的是JAVA大数BigInteger，python也可（不过我不会）。

Code(71MS)

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main
{
    
    
	public static void main(String[] args){
    
    
		Scanner in = new Scanner(System.in);
        int T;
        T = in.nextInt();
        for(int i = 1;i <= T; i++) {
    
    
		    long n;
		    n = in.nextLong();
		    BigInteger ans = new BigInteger("1");
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
		    ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
		    ans = ans.multiply(ans);
		    System.out.println(ans);
	    }
    }
}