Bernstein基函数及其性质

Bernstein基函数及其基本性质 matlab实现

一.Bernstein基函数

Bernstein基函数可以作为多项式空间的一组基底，n次Bernstein基函数$B_i^n(t)$定义为：
$$B_i^3(t)={(}_i^n)t^i(1-i{)}^{n-i},{(}_i^n)=\frac{n!}{i!(n-i)!},i=0,1,...,n.$$
下图为n=5时的Bernstein基函数的图像

二、Bernstein基函数的性质

对于$t\in [0,1]$,Bernstein基函数有以下性质：

1. 非负性.
   $$B_i^n(t)\ge 0,t\in [0,1].$$

2. 单位分解性.
   $$\sum _{i=1}^n{B}_i^n(t)=[t+(1-t){]}^n\equiv 1.$$

3. 端点性质.在端点$t=0$和$t=1$，分别只有一个Bernstein基函数取值为1，其余为0，即
   $$B_i^n(0)=\{\begin{array}{ll}1,& i=0,\\ 0,& i\ne 0,\end{array},$$
   $$B_i^n(1)=\{\begin{array}{ll}1,& i=n,\\ 0,& i\ne n.\end{array}$$

4. 对称性.从图像上看，第 $i$ 个和第 $n-i$ 个Bernstein基函数关于$t=\frac{1}{2}$对称，即
   $$B_i^n(t)=B_{n-i}^n(1-t),i=0,1,...,n.$$

5. 导函数.n次Bernstein 基函数的导数可以用由两个n-1次的Bernstein基函数线性组合得到，即
   $$(B_i^n(t){)}^{{}^{\prime }}=n(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_i^{n-1}(t)).$$

6. 最大值.$B_i^n(t)$在$t=\frac{i}{n}$时达到最大值.

7. 递推性.n次Bernstein基函数可分别由两个n-1次或两个n+1次的Bernstein基函数递推得到，即
   $$\{\begin{array}{l}{B}_i^n(t)=(1-t)B_i^{n-1}(t)+t{B}_{i-1}^{n-1}(t),\\ B_i^n(t)=\frac{i+1}{n+1}{B}_{i+1}^{n+1}(t)+(1-\frac{i}{n+1})B_{i-1}^{n-1}(t),\\ i=0,1,...,n.\end{array}$$
   其中$B_{-1}^{n-1}(t)=B_n^{n-1}(t)\equiv 0.$

8. 积分等值性.所有n次Bernstein基函数在区间[0,1]上的积分相等，即
   $${\int }_0^1{B}_i^n(t)dt=\frac{1}{n+1},i=0,1,...,n.$$

%基函数图像相应的matlab程序为：
function bezier
%  Bernstein基函数的图像
a = 0;
b = 1;
M = 40;
hx = (b-a)/M;
x = (a:hx:b)';
n=4;           
for i = 1:n+1 
    y = B(x,n,i-1);
    figure(1)
    plot(x,y)
    hold on
end
end

function y = B(x,n,i)
y = k(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
end

function y = k(n,i)           %组合系数
y1 = factorial(n);            %n的阶乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end

代码可以直接运行。
运行结果如下：