考研数学高数1-1综合测试-函数及其性质

今天听完强化课之后去做学习包的题，发现没带平板，如果写到纸上，塞到书里又不知道去哪了，所以索性就拿Latex写了，虽然有一点麻烦，但是好在数量不多，就这么写吧。
都是我自己写的过程，有可能不太正确，大家有什么看法，欢迎在评论区和我一起讨论。

第一题

$$\begin{gathered} 由f(x)=-f(-x)可知，f(x)是奇函数，f(x)可导，所以f{}^{\prime }(x)是偶函数，f{}^{\prime \prime }(x)是奇函数 \\ 偶函数根据y轴对称，奇函数关于原点对称，根据f{}^{\prime }(x)>0和f{}^{\prime \prime }(x)>0我们可得 \\ f(x)在(-\infty ,0)上f{}^{\prime }(x)>0,f{}^{\prime \prime }(x)<0，选C \end{gathered}$$

第二题

$$\begin{gathered} AB：反例f(x)=x^3单调递增，但是f{}^{\prime }(x)\ge 0 \\ C:反例f(x)=x \end{gathered}$$

第三题

$$\begin{gathered} 由题意得，函数f(x)是偶函数，则f{}^{\prime }(x)是奇函数，f{}^{\prime \prime }(x)是偶函数 \\ 和第一题类似，f{}^{\prime }(x)在(0,\infty )<0,f{}^{\prime \prime }(x)在(0,\infty )<0,选C \end{gathered}$$

第四题

$$\begin{gathered} 根据选项，我们挨个判断：若\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-sin3}{18},若\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{sin2}{4} \\ 题目真友好，第一个选项就是对的，选A \end{gathered}$$

第五题

$$\begin{gathered} 由题意得，f(x)连续，f{}^{\prime }(0)>0,将f{}^{\prime }(0)写成极限形式就是 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}>0，根据极限的保号性，我们可以使用脱帽法 \\ 所以\frac{f(x)-f(0)}{x-0}>0，找到AB的反例，就是f(x)=\{\begin{array}{cc}x+2x^{2}sin\frac{1}{x}，x\ne 0& \\ 0，x=0& \end{array} \\ 这一函数在0的导数大于0，但是其去心邻域都小于0，选C \end{gathered}$$

第六题

$$感觉第一眼看上去是个高中题，f(x+2)-f(x)=f(2),带入x=1,f(3)-(1)=f(2),带入x=-1，f(1)-f(-1)=f(2)，又f(-1)=-f(1),所以f(1)=0$$

函数章节思维导图

因为上课没带讲义，我就用的思维导图，看起来还挺方便的

需要pdf的看这里：函数强化
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