磁吸控制系统是学习和研究控制理论的重要平台之一。对磁吸系统的研究可以归结为对非线性系统和不稳定系统的研究，这类复杂控制对象难以用数学公式进行精确描述，采用经典控制方法也难取得好的控制效果。
本文在MATLAB环境下利用S-函数建立磁悬浮的非线性动态模型。介绍磁吸技术国内外发展状况及其应用前景，本论文选题的背景及研究的目的和意义。然后介绍了磁吸控制系统的物理分析及其数学模型的建立，从电磁学详细分析了系统的线性和非线性模型。磁吸系统的PID控制和模糊控制研究首先分析传统的PID控制器，针对PID控制器对非线性磁吸系统控制的局限性，运用模糊控制方法并通过实验进行比较。
20世纪初，悬浮理论的奠基者们最先在实验室中造成了物体在空间自由悬浮这一人类历史上长期视为神秘的现象。然而真正实现电磁吸，并把这一技术加以应用是近几十年的事。单纯使用永久磁铁或超导体产生的悬浮则为“被动磁悬浮“（或“无源磁悬浮”），而使用电动或电磁方式产生的悬浮则为“主动磁悬浮“（或”有源磁悬浮“）。早期的悬浮支撑研究侧重于”被动磁悬浮“(Passive Magnetic Suspension)，随着现代科学技术的飞速发展，电磁悬浮技术的研究开始转入“主动磁悬浮”(Active Magnetic Suspension)阶段。
特别是进入上世纪的80年代，超导现象的发现首先应用于磁悬浮方面。超导技术与磁悬浮技术的结合，新材料，新工艺，新器件的出现以及现代控制技术的发展，使电磁悬浮技术趋于成熟，由理论研究阶段进入了实际应用新阶段-磁悬浮支撑技术和磁悬浮列车技术两大使用领域。磁悬浮轴承是利用磁力将转子无机械摩擦地悬浮在空间的一种新型高性能轴承。由于具有无接触、无摩擦、振动小、不需要润滑、工作寿命长等优点，显著改善旋转机械的振动特性，可用于取代传统的高速滚动轴承和滑动轴承。
使用磁悬浮轴承后，高速加工设备的主轴转速可大幅度提高（低则达每分钟几万转，超高速甚至达每分钟几十万转），不但满足机械高速、高效加工工业的需求，而且可利用磁悬浮轴承本身的传感器对加工状态进行监控。正是由于电磁轴承其独特的性能，电磁轴承的研究已越来越为世人所瞩目。
80年代末至90年代初，美国航空航天局对“磁浮轴承在航空发动机上应用的可行性”进行的研究结果表明，仅取消原有滚动轴承的密封和润滑系统，就可以将发动机的重量减轻16%左右，效率提高5%，承载能力提高2~4倍；磁浮轴承需要功率小于100W。这足见磁轴承的优势。但需要指出的是：与主动磁悬浮轴承相比，无源磁悬浮系统虽具有结构简单、可靠、成本低等优点，可它却不能产生阻尼，亦即缺少像机械阻尼或像主动轴承那样的附加手段，因此这个系统的稳定域是很小的，外界激扰得小变化也会使它趋于不稳定。同样，主动磁悬浮系统，由于采用了主动式反馈控制，其刚度和阻尼可以灵活的在线可调。但是其控制系统结构复杂，难度大，连续耗能多，铁损大，效率不高，是有源磁悬浮系统不容忽视的问题。在目前只需相对低廉的成本即可实现功能很强的控制的条件下，人们开始着手研究混合磁悬浮系统，将“主动“和“被动”结合起来，相互取长补短，充分发挥磁悬浮技术的性能优势。因此研究混合磁悬浮系统是十分有意义的。
利用磁力使物体处于无接触悬浮状态的设想由来已久，但实现起来并不容易。早在1842年，恩休(Eamshow)就证明：单靠永久磁铁是不能将一个电磁铁在所有6个自由度上都保持在自由稳定的悬浮状态的。要使得铁磁体实现稳定的磁悬浮，必须根据物体的悬浮状态不断地调节磁场力的大小才能实现，也就是说应当采用可控电磁铁。1937年德国科学家肯佩尔(Kenper)提出这一思想，并申请了第一个磁悬浮技术专利，这构成了之后开展的磁悬浮列车和磁悬浮轴承研究的主导思想。1939年，布鲁贝克(Braunbeck)对磁悬浮进行了严格的理论证明。以后的研究又证明，如果最小有一阶自由度受外部机械约束的话，强磁性物体可以用磁力悬浮于稳定平衡状态。至此，磁悬浮理论已经发展得较为完善了。
1.2磁悬浮控制方法及发展趋势
在磁悬浮的许多实际应用中，都要求磁悬浮系统的悬浮气隙有较大的工作范围。但由于磁悬浮力-电流-气隙之间的非线性特性，系统模型开环不稳定。至少需要输出反馈进行闭环控制，才能够实现稳定悬浮。为了设计一个性能良好的悬浮控制器，基于磁悬浮系统的稳定性控制问题受到了广泛而又深入的研究。传统工业控制中多采用成熟的PID控制调节器，其中比例环节可以加快系统反应速度，积分环节可以消除静差，调节系统刚度；微分环节可以调节系统阻尼特性，改善系统的动态品质。
PID调节器结构简单，调节方便，应用成熟。但是在高精度的磁悬浮技术场合，工况的复杂性和磁场本身的非线性使得传统PID控制器难以满足工程需要。对磁悬浮模型的稳定控制通常是将非线性磁悬浮模型在平衡点附近进行泰勒展开，忽略高阶项以后，便得到一阶线性化模型。这种线性化模型在磁悬浮控制中得到了广泛应用，并已在工程上验证了它的实用价值，但使用这种线性化方法设计的控制策略也有其局限性。由于线性化模型是在平衡点附近得到的，当系统的平衡点改变时，系统的动态特性会显著改变，控制策略将迅速恶化，影响系统稳定。此时，线性控制律往往不能满足系统稳定性的要求。为此需要更加先进的控制方法。近年来，随着工业水平的提高，很多先进控制方法涌现于自动化领域。
智能控制智能控制方法是指基于在线学习和辨识的控制方法，如模糊控制、神经网络控制等，此类方法的特点是被控系统可当作“黑箱”来处理，不需要任何有关的先验知识，控制器可根据输出响应来学习系统特性并根据需要对控制参数实施在线调节。此类方法的优点是能够克服磁浮非线性和外界干扰给系统造成的影响。然而，智能控制系统本身具有复杂性，尚处于实验研究阶段，并未得到成熟的工程运用。
系统辨识系统辨识就是利用系统观测到的信息，构造系统的数学模型的理论和方法。它涉及到的理论基础相当广泛，对于单变量线性系统，已经有一系列成功的理论和辨识方法，多变量系统中的研究还尚未成熟。然而，在单变量系统中与传统的控制方法相比并没有明显的优势。
随着控制方法的进步和系统要求的提高，控制手段应该在满足需求的同时，向提高系统稳定性、可靠性和经济性的方向发展，磁悬浮系统中先进控制方法的研究无疑成为磁悬浮领域中的一个热点。磁悬浮系统是一个典型的非线性系统，其非线性的特性是不可忽略的。然而当前绝大多数磁悬浮控制器都是基于非线性磁悬浮系统在某个平衡点的线性化模型而设计的线性控制律。当系统的平衡点改变时，系统的动态特性会显著改变，此时，线性控制律往往不能满足系统稳定性的要求。因此有必要基于磁悬浮系统的非线性模型设计控制律。无源性是基于耗散性的特例，是一种先进的非线性控制方法，它从能量的角度来描述系统的输入输出，可以把一些数学工具与物理现象联系起来，适用于很多控制问题，在机电系统，机器人等控制应用方面和自适应控制，非线性H∞控制等控制方法方面，已经证实了无源性是一种有效的方法。
3.1磁吸系统的基本结构
磁吸控制系统主要由铁心、线圈、传感器、控制器、功率放大器及其控制对象刚体等元件组成。系统结构如图3-1所示。
图3-1 磁吸控制系统基本结构
3.1磁吸系统的基本结构
磁吸控制系统主要由铁心、线圈、传感器、控制器、功率放大器及其控制对象刚体等元件组成。系统结构如图3-1所示。
图3-1 磁吸控制系统基本结构
其中：u( t)-控制器的输出；e(t)-控制器的输入，它是给定值和被控对象输出值的差，称偏差信号；Kp-控制器的比例系数；Ti-控制器的积分时间常数；Td控制器的微分时间常数。
在PID控制中，比例项用于纠正偏差，积分项用于消除系统的稳态误差，微分项用于减小系数的超调量，增加系统稳定性。PID控制器的性能取决于Kp、Ti、Td这三个系数，如何选用这三个系数是PID控制的核心。
PID控制器的基本结构如下所示：
图3-2 PID控制系统框图
PID控制器各校正环节的作用如下：
·比例环节即时成比例地反映控制系统地偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
·积分环节主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于时间常数Ti，Ti越大，积分作用越弱，反之越强。
·微分环节能反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。
理想PID控制效果并不理想，其主要原因是：理想中的微分作用对于幅值变化快的强扰动变化过快，而工业中的实际机构动作速度相对较慢，不能及时响应微分的控制作用；此外，理想微分控制对偏差信号中较杂的噪声干扰十分敏感，即使干扰的幅值较小，只要频率高，经过理想微分后，就能产生较大的噪声输出，最终影响控制精度，同时还会增大执行机构磨损。目前，在工业中广泛应用的是PID控制，但对具有非线性，大时滞，强耦合等特性的被控对象其控制效果并不理想，虽然由最优PID,非线性PID及自适应性PID等改进形式的PID控制，但从根本上说，对于PID参数的寻优是对比例，积分，微分三种控制作用的折中以及对于干扰抑制调整和目标值跟踪整定的折中，因而其对整定的参数并不是最优的，也就是说，PID控制器对于不同的对象要用不同的PID参数，而且调整不方便，抗干扰能力差，超调量大。模糊控制是一种语言控制，不依赖于被控制对象的数学模型，设计算法简单，易于实现，能够直接从操作者的经验归纳，优化而得，而且适应能力强，抗干扰能力强，鲁棒性好。但是模糊控制也有它的不足，因为它的控制作用只能按档处理，是一种非线性控制，控制精度不高，存在静态误差。因此，将两种方法结合起来，综合其优点，克服彼此的不足，就有了一种复合控制器，也就是模糊PID控制器。
PID控制算法对大多数过程都具有较好的控制效果和适应性，至今仍为控制过程所广泛采用，但是PID参数的人工调整需要熟练的技巧。另外，即使PID参数调整很好，用同一组固定的PID参数去适应系统的全过程，当控制对象参数变化后，系统的性能必然也会受到影响。因此，PID参数的在线自动化调整就非常重要。模糊控制理论可以有效且便捷地实现人的控制策略和经验，并且不需被控对象的数学模型即可实现较好的控制，将模糊控制和PID控制两者结合起来，扬长避短，既具有模糊控制灵活而适应性强的优点，又具有PID控制精度高的特点。且使得PID控制器适应被控对象的变化，获得良好的控制性能。这也是模糊PID自整定理论要研究的问题。
1988年瑞典学者Astrom在美国控制会议上率先提出了自整(Auto-tuning)的概念。他认为自整定控制器可以被看作是一个有经验的仪表工程师整定经验的自动化，自整定控制器应该包含从实验中提取过程动态特性的方法并具有一定的推理能力。简单的说，PID参数自整定指的是控制器可以自动整定PID参数的初值，在初值整定过后自动切换到正常工作状态，在系统的性能发生改变并超出了一定的范围后系统自动启动PID参数的整定过程重新整定PID参数以达到更好的控制效果。实现PID参数在线自整定的方法有很多，如基于模糊和神经网络技术的自整定、基于专家系统的自整定及基于非线性控制的自整定等。其中，基于模糊和神经网络控制技术的自整定方法现在是广大控制工作者研究的热门问题之一。
模糊自适应PID控制系统能在控制过程中对不确定的条件、参数、延迟和干扰等因素进行检测分析，采用模糊推理的方法实现PID参数kp、ki和kd的在线自整定。不仅保持了常规PID控制系统的原理简单、使用方便、鲁棒性较强等特点，而且具有更大的灵活性、适应性、精确性等特性。
图3-3 模糊自适应PID控制系统结构图
4.1 磁吸系统线性状态方程的MATLAB建模
其MATLA代码如下所示：
function y=MagLev(m,g,R,L,k,h0);
i0=h0*sqrt(m*g/k);
A=[0 1 0;2*k*i0^2/(m*h0^3) 0 -2*k*i0/(m*h0^2);0 0 -R/L];
B=[0;0;1/L];
C=[1 0 0];
D=0;
y=ss(A,B,C,D)
在MATLAB的指令窗口输入pole（MagLev）；
31.3369
-31.3369
-125.0000
其参数kp和k1，PI控制器的一个极点在原点，一个零点在-k1/kp位置。相对于系统，其他零点而言，如果PI控制器零点与极点很近，那么当PI控制器与PD控制器串联形成PID控制器，那么这个时候他对于闭环暂态特性的影响是可以忽略的。在本系统的磁吸控制系统中，我们取kp=1；k1=1。其matlab代码如下所示：
y=MagLev;
yy=pole(y);
PD=tf(-1*[1 20],[1 50]);
rlocus(PD*MagLev);
PI=tf([1 1],[1 0]);
[y,t]=impulse(feedback(150*PI*PD*MagLev,1));
figure(2);
plot(t,y)
sgrid;
其仿真结果如下所示：
图4-3 磁吸系统的脉冲响应曲线
在SIMULINK中引入S-函数可以有效地解决某些复杂的问题。在含有状态方程或分段方程的系统中，其方框图模型不能直接构造，而用S-函数来描述状态方程和分段方程却十分简单，所以通过S-函数模块来调用S-函数是解决这些复杂问题非常有效的手段。这种方法可以推广到模糊控制或其它类似的智能控制领域中。
S-函数是SIMULINK运行的核心。S-函数有三种表现形式：框图形式；M文件形式；MEX文件(C或FORTRAN子程序)。框图表示直观，容易构造，运行速度比较快，M文件编写灵活，适应面宽，运行较慢，MEX文件运行速度最快。因此使用何种方式应视具体情况而定。在解决较复杂问题时，常常需要不同方法交叉使用。
由M文件所形成的S-函数，可以应用MATLAB中的各种函数和语言功能，只要所研究的系统模型能够由MATLAB加以描述，就可构造出相应的S-函数，从而借助SIMULINK中的S-函数功能模块实现MATLAB与SIMULINK之问的沟通与联系，因而可以充分发挥MATLAB编程灵活与SIMULINK简单直观的各自优势。
S-函数的引导语句为：function[sys,x0,str,ts]=sFunname(t,x,u,flag)
其中，sys是每个函数的输出，x0是系统的初始状态变量，str是说明变量，ts是采样周期变量；t、x和u分别为时间、状态和输入信号，flag为标志位，它们的值在仿真时，系统将自动传递给S-函数。sFunname是定义的S-函数名。
为了使我们的仿真结果更加贴近于实际系统，我们考虑在仿真过程中构建混合磁悬浮球系统的非线性模型，但是存在非线性因素的模型在Simulink中不容易直接搭建，因此这里采用前面介绍的S-函数编程，构建一个混合磁悬浮球的非线性模块，此模块主要实现电磁铁的力-电流-位移特性。
其S函数的MALAB代码如下所示：
function [sys,x0]=MagModel(t,x,u,flag)
m=0.1;
g=9.82;
R=5;
L=0.04;
k=0.01;
h0=0.02;
i0=h0*sqrt(m*g/k);
switch flag
case 1
xdot =zeros(3,1);
xdot(1)=x(2);
xdot(2)=m*g-k*x(3)^2/x(1)^2;
xdot(3)=-R/L*x(3)+1/L*u(1);
sys=xdot;
case 3
sys=x(1);
case 0
sys==[3 0 1 1 0 0];
x0=[h0+0.1*h0;0;i0];
otherwise
sys=[];
end
在顶层的M文件代码为：
y=MagLev;
yy=pole(y);
PD=tf(-1*[1 20],[1 50]);
rlocus(PD*MagLev);
PI=tf([1 1],[1 0]);
[y,t]=impulse(feedback(150*PI*PD*MagLev,1));
figure(2);
plot(t,y)
sgrid;
[num,den]=tfdata(150*PD*PI,'v');
simulink;
在SIMULINK中建立如下的仿真模型。
图4-4 非线性系统的仿真模型
其仿真结果如下所示：
图4-5 PID非线性磁吸控制系统仿真效果