计算机层析成像技术(CT)是近十几年发展起来的一种新的非接触无损检测技术，它具有检测精度高、重建图像无影像重叠、空间分辨率和密度分辨率高、可以直接进行数字化处理等优点,现已被广泛应用于航空、航天、机械、公安、海关、医疗等诸多领域。
本文所实现的算法与传统的滤波反投影算法相似，但算法中增加了小波滤波，反投影后得到待重构图像的小波系数，再对这些系数重构得到局部CT图像。滤波反投影算法是目前比较常用的CT图像重建算法，它速度快，图像质量好。但在二维平面上，Radon变换不具有局部性。于是，寻找一种既能减少辐射剂量，又能重建感兴趣区域的局部图像重建算法，引起了人们的极大兴趣，这就是所说的局部CT。最后利用MATLAB对滤波反投影算，多尺度全局重建和多尺度局部重建进行了仿真，从而验证算的正确性。
从投影重建物体的截面图像是图像处理中非常重要的技术此技术在物体的无损伤性检测其内部缺陷的应用中能起很大作用从投影重建图像的技术早在20世纪中期就已经制成常规医疗诊断设备的商品1917年奥地利数学家J.Radon发表的论文证明了二维物体或三维物体可以从许多投影来重建其内部数据英国的EMI公司中央研究所1972年由G.N.Hounsfield设计出X射线断层分析仪此后于1974年5月在加拿大蒙特利尔第一次国际会议上正式命名为Computerized Tomography简称XCT或CT当时这台仪器可以获得人体的各个部位鲜明清晰的断层图像另外美国塔夫茨大学A.M.Cormack在1963年就提出了精确的非迭代的级数展开法用于图像重建的算法中并指出在诊断医学中图像重建的可能性以上两人由于对CT研制工作的开创性贡献获得了1979年诺贝尔医学奖。
计算机层析成像技术（Computed Tomography，简称CT）是利用具有一定能量的射线源（X射线，γ射线）对物体进行断层扫描，并根据物体外部的探测器获得的物理量（指物质对射线的衰减系数）生成的一维投影数据，通过特定的重建算法，得到所扫描断层的二维图像。
CT断层图像具有无影像重叠、空间和密度分辨率高、可直接进行数字化处理等优点，通过近十几年的发展已成为非接触无损检测的主流技术，是关键部件检测、机械仿型设计、安全检查等方面强有力的手段，并广泛应用于航空、航天、机械、汽车、船舶、公安等领域。此外，在医学领域，医用CT机已成为疾病诊断的重要辅助工具，对病灶的位置及病变程度的良好再现已使其成为医学影像领域里的主要医疗器械。
CT机有三个组成部分。一是数据采集系统，二是图像重建（主要是图像重建算法），三是图像后处理及显示系统。CT图像重建算法主要分为两类，即变换法和级数展开法。变换法包括滤波反投影算法、傅立叶变换法以及ρ滤波法（rho-filtered layergrams），小波变换法；级数展开法主要是代数重建算法。滤波反投影是比较常用的变换算法，它具有速度快，空间和密度分辨率好的优点。
1.2 CT的发展现状
CT Computerized Tomography即计算机断层扫描成象从80年代以来在医学上获得了普遍的应用利用X-射线从各个方向对人体进行扫描所获得的投影数据重建人体的内部断面图像为医学诊断提供了直观准确的依据虽然断层成象有关的数学理论早在1917年就已经由J.Radon提出但只是在计算机出现以后并与放射学结合才产生一门新的成象技术ICT Industrial Computerized Tomography工业计算机层析照相或称工业计算机断层扫描成象简称工业CT ICT由投影进行图像重建的技术可以追溯到很早的年代但其突破性的进展是在应用了计算机技术尤其是1971年首台医用CT问世以后取得的现在CT技术已经被公认为是20世纪后期最伟大的发明之一CT最引人注目的应用是在医学诊断领域其理论研究及设备制造技术在相当程度上与医学科学有关早期的工业检测曾直接利用医用CT扫描设备进行医用CT对人体检测可以提供高质量的图像但不适用于检测大尺寸高密度的物体从80年代初期开始由美国军方首先提出若干专门的研究计划制造检测大型火箭发动机或小型精密铸件的工业CT设备经过大约二十年的发展工业CT研究已经成为一个专门的分支并在以后的十几年内取得了飞速的发展可以认为工业CT与医用CT的主要差别在于工业CT主要用于检测高密度和大尺寸物体应用高能量射线源需要有更高的系统分辨力等目前工业CT技术已经在航空航天军事工业核能石油电子机械考古等领域得到广泛应用我国从80年代初期开始研究工业CT技术1987年和1990年清华大学分别对射线CT和X-CT装置进行了研究1993年以后重庆大学中科院高能所等单位陆续研制出射线源工业CT装置并进行了一些实际应用。
医学上习惯把CT分为三大类X射线投射CT即普通CT发射CT ECT及核磁共振NMR CT等在工业无损检测领域则除X射线外还采用射线中子等NMR也有不少实用的例子不过像医学领域一样采用X射线管的X-CT应用仍占最大比重只是在工业应用中X射线能量范围通常高于医用从数十到数百千伏而且工业上通常采用恒压X射线管较少采用医用的脉冲式X射线管对于更大的工件有时还必须采用直线加速器产生数百万电子伏的X射线同位素射线源有单能和强度稳定等突出优点但因为不能制造足够强度的点状放射源因此实际应用中受到许多限制应用范围也远不如X-CT广泛。
CT技术的数学基础（Radon变换及逆变换）由德国数学家Radon建立（1917年）。透射式X射线计算机层析成像技术的理论则由美国的A.M.Cormack首创，70年代世界上第一台医用CT机由英国人C.N.Hounsfield研制成功，他由此获1979年诺贝尔医学和生理学奖。自70年代第一台CT机问世以来，计算机层析成像技术一直是国内外研究的热点之一，其研究可分为硬件和软件两方面。硬件方面发展出具有低、中、高或超高能的γ射线、X射线、电子束、直线加速器的CT机，近年来西方发达国家已先后研制出具有高分辨率的螺旋CT、可超高速成像的电子束CT等设备。软件方面出现了许多结合检测系统从数学模型、数据采集、成像方法、软件实现等角度，提高成像分辨率和检测速度的应用软件。特别值得注意的是一些通过软件方法替代部分硬件功能的技术，由此达到降低成本，提高效率等目的。康普顿散射检测成像技术研究也是一个重要的研究方向。康普顿散射检测可将源与检测器布置在被检测目标同一侧，具有对缺陷空间位置敏感、信号探测对比度基本保持衡定等特点，可用于检测通常手段(如透射成像等检测设备)难以检测的火箭弹药脱粘、蜂窝状结构多层胶接脱粘等问题，可与透射式CT检测设备互补。
美国等少数发达国家还开发了一些专用散射成像技术(CST)，成功地应用于国防军事领域。我国有关单位花费巨额外汇先后进口数十台国外工业CT机用于军事工业和民用工业关键材料、部件的无损检测。发达国家在工业CT关键技术(包括成像软件)上对中国一直采取技术封锁和保密，以保持其在工业CT上的垄断地位。出口给中国的工业CT机的数据采集和成像系统被固化加密，无法二次开发和改进，维修也依靠国外厂家；此外，还限制对华出口某些类型的高分辨率工业CT机。因此发展具有自主知识产权的国产高分辨率工业CT机（包括成像软件）非常迫切和必要。
80年代中期，国内一些大学、研究所开始从事CT理论与应用试验的研究，其中有清华大学、中科院高能所、重庆大学、中国计量科学院、上海交通大学、北京信息工程学院、东北大学、浙江大学等单位。90年代初我国自行研制成功第一台透射式γ射线工业ＣＴ样机，清华大学等单位研制成功X射线微焦点ICT机，打破了国外在工业CT方面对我国的封锁局面。
1.3 CT成像简介
图像是用来描述一个物体或物理系统的某些特性分布的.最常见的图像是那些由可见光被反射或透射经光学仪器直接形成的。然而在许多需要图像的应用中，我们只能采用不可见的辐射探测物体做间接测量，X射线便是这方面的一个例子。众所周知X射线是一种不可见的高能电磁波，它对各种物质都具有不同程度的穿透能力。当一束X射线通过人体时会由于吸收与散射而衰减，射线被吸收的总数取决于它穿过的物质的密度、原子组成及X射线的光能频谱。在X射线能量相同的情况下，密度大的物质对射来的射线衰减更大。我们可以用一个X射线检测器去测量衰减值(或从物体透射出的射线强度衡量衰减值)。检测器通常是照相底片或在普通X射线照相术中的X射线图像磷光增强器。由于曝光使底片变黑，因而密度大的物质的图像比密度小的物质的图像要淡。所以，对X射线的吸收或散射越多，则图像越浅。在普通X射线照片上，往往可以从中看到骨质部分，就是因为骨头部分的物质密度大，其对射线的吸收量大(衰减大)，在照片上感光弱而呈现浅的影像。
但是相等强度的X射线束，如果一束通过一个具有均匀密度的物质，另一束通过一个非均匀密度的物质，检测器记录的两个总衰减值可能相等，在这种情况下检测器不能决定两束射线之间的差别，因为这两束射线的衰减总值相等。所以传统的X射线装置对于组织的分辨力较低，只能区分密度差别大的脏器。要想得到一幅清晰的图像，最好的办法就是能找到一种物理参量，而且对于不同的组织这个参量的值不同，这样就能把不同的组织区分开来。人体组织对X射线的衰减系数就恰好是这样一个物理量，所以接下来就对X射线衰减系数进行定义。
滤波反投影法是目前CT图像重建领域使用得最为广泛的一种算法，其有效性和准确性也在临床上得到了验证。本章将讨论这一算法及其实现。
滤波反投影算法简介
基于shepp-Logan模型的滤波反投影算法的仿真分析
在MATLAB输入：
P=phantom(256);
figure,imshow(P);
得到S-L脑部图，其投影如下图所示：
图3-3 S-L头模型图及投影图
滤波反投影就是在反投影之前对投影数据进行前置滤波，根据要求，在课题中，我们采用sinc滤波器。
其基本算法流程如下所示：
其MATLAB代码如下所示：
I=phantom(256); %生产头部模型图
figure(1);
imshow(I); %显示图像
IMG=double(I); %双精度显示
%=====step1================================
THETA=0:179;
PR=touyin(IMG,THETA) %进行投影
figure(2);
imshow(PR,[]);
%=====step2================================
filtPR=lvbo(PR);%进行滤波
figure(3);
imshow(filtPR,[]);
%=====step3================================
BPI=fantouyin(filtPR ,THETA);%反投影
figure(4)
imshow(BPI,[]);
图3-5 投影仿真图
图3-6 滤波反投影的仿真图
多尺度全局重建和局部重建理论分析和MATLAB仿真
本章我们将讨论基于小波的多尺度重建算法，这一算法首先从投影数据直接求取待重建图像的小波分解系数，然后利用这些系数进行小波重构，进而得到重建图像。
多尺度全局重建算法
基于小波的局部重建算法，仅使用局部投影数据不仅能重建出图像中的高频部分，而且能重建出图像中的低频部分。该算法的提出是基于这样一个发现，即某些具有高阶消失矩的紧支撑尺度函数在经过希尔波特变换后会拥有和原尺度函数基本一致的支撑区间。该算法比起前两种算法进一步降低了X射线的辐射剂量，且能够达到相同的重建质量。本章先推导出基于小波的重建算法，并将其用于全局重建，然后在下一章详细讨论该算法在局部重建中的应用。
4.2 基于shepp-Logan模型的多尺度全局重建的MATLAB仿真与分析
我们首先用一层小波变换得到分解后的小波系数。仿真结果如下所示：
图4-2 小波系数
然后通过二维反小波变化，可以得到如下仿真结果：
图4-3 小波重建结果
4.4 基于shepp-Logan模型的多尺度局部重建的MATLAB仿真与分析
其仿真图像为：
图4-5 原始仿真图（左）和局部数据仿真图（右）
其小波系数仿真如下所示：
图4-6 小波系数
最后由局部数据重建的图像如下所示：
图4-7 局部数据重建效果
计算机层析成像技术(CT)是近十几年发展起来的一种新的非接触无损检测技术，它具有检测精度高、重建图像无影像重叠、空间分辨率和密度分辨率高、可以直接进行数字化处理等优点，现已被广泛应用于航空、航天、机械、公安、海关、医疗等诸多领域。
我们首先对CT的理论进行了概括性描述，并回顾了CT发展的历史。介绍了CT成像的基本理论。CT投影数据是射线关于被测物体的线性衰减的积分，即沿给定射束路径计算出来的线积分。图像重建的实质是根据这些”已知”的投影数据来估算被测物体内部的密度分布，其数学基础就是Radon变换及其逆变换，它们也是CT成像的流行经典算法-滤波反投影算法的理论核心。并在此基础上将算法用于重建人体某个剖面上的局部CT图像。该算法的提出是基于这样一个发现:某些小波函数和相应的尺度函数具有高阶的消失矩，这些小波函数和尺度函数在经过Ramp滤波器滤波之后，能够保持和原函数基本一致的支撑区间长度。通过对shepp-Logan头部模型的模拟，算法不仅实现了对图像局部感兴趣区域的重建，同时还具有较高的图像重建质量，而这些都是了传统的滤波反投影法无法做到的。