学校网络（含证明）

欧拉回路的证明我都没写，这个我却写了，哎。

题目

题目

做法

第一问其实就是让你求用强连通缩点之后入度为$0$的点。

不难证明的一件事情是，缩点之后是个$DAG$，而$DAG$必然存在入度为$0$的点（如果不存在，你从一个点出发一直走指向你的边，最后就会走成一个环。）。

入度为$0$的点是肯定需要放的，没什么好说的。但是单单放了入度为$0$的点就行了吗？一个点一直走父亲边就可以到达入度为$0$的点。

第二问的话，设入度为$0$的点集为$P$，出度为$0$的点集为$Q$，那么答案就是：$max(|P|,|Q|)$

惊人的发现我的证法是普通证法的复杂版。

但是为了偷懒直接写普通证法算了

反正至少曾经我想到过证明

参照博客：https://www.acwing.com/solution/content/4663/

首先，先说要实现最小边数的条件。
我们知道一条有向边可以贡献一个入度，一个出度，相应的，也就可以消掉一个$P$的点和一个$Q$的点，所以至少要$max(|P|,|Q|)$

分类讨论。

1. $|P|=1$，此时将$Q$中所有的点连向$P$即可，所用的边的数量为$|Q|$
2. $|Q|=1$，此时将$Q$连向$P$中所有的点即可，所用的边的数量为$|P|$。
3. 其余的情况，我们只需要将$Q$中的一个点$q_1$连向$P$中的一个点$p_2$，那么这个时候指向$q_1$的的点就会全部指向$p_2$所指向的点，此时刚好把$q_1$和$p_2$从$P,Q$中毫无痕迹的删除，然后重复此操作到删除了$min(|P|,|Q|)-1$对点后，开始进入$1,2$操作。

这样的话就证明了一定存在一种方案是$max(|P|,|Q|)$的。

两者一结合，便证明此结论了。

当然，对于入度出度都为$0$的点，你可能会说连一条边只会删掉一个点，但是其实你看这个点啊，拆点，将出去的边和进来的边分开来，这样在对外显示上是没有任何问题的，而且可以帮助你更形象的理解，当然你也可以更硬核的理解，就是$P,Q$中都有这个点，这个理解在代码时思路会更加清晰，但是结论就摆在那，入度出度都为$0$的点并不会影响结论。

当然，如果整个图就是一个分量的话，答案是$0$，特判一下即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define  N  110
#define  M  110000
using  namespace  std;
inline  int  mymin(int  x,int  y){
    
    return  x<y?x:y;}
inline  int  mymax(int  x,int  y){
    
    return  x>y?x:y;}
struct  node
{
    
    
	int  y,next;
}a[M];int  len,last[N];
inline  void  ins(int  x,int  y){
    
    len++;a[len].y=y;a[len].next=last[x];last[x]=len;}
int  dfn[N],low[N],n,in[N]/*入度*/,out[N]/*出度*/,ti,be[N],sta[N],top,block;
void  dfs(int  x)
{
    
    
	sta[++top]=x;dfn[x]=low[x]=++ti;
	for(int  k=last[x];k;k=a[k].next)
	{
    
    
		int  y=a[k].y;
		if(!dfn[y])
		{
    
    
			dfs(y);
			low[x]=mymin(low[x],low[y]);
		}
		else  if(!be[y])low[x]=mymin(low[x],low[y]);
	}
	if(dfn[x]==low[x])
	{
    
    
		block++;
		while(sta[top]!=x)
		{
    
    
			be[sta[top--]]=block;
		}
		be[sta[top--]]=block;
	}
}
int  main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		int  x;
		while(1)
		{
    
    
			scanf("%d",&x);
			if(x==0)break;
			ins(i,x);
		}
	}
	for(int  i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])dfs(i);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		for(int  k=last[i];k;k=a[k].next)
		{
    
    
			int  y=a[k].y;
			if(be[i]!=be[y])in[be[y]]++,out[be[i]]++;
		}
	}
	int  ans1=0,ans2=0;
	for(int  i=1;i<=block;i++)
	{
    
    
		if(!in[i])ans1++;
		if(!out[i])ans2++;
	}
	if(block==1)printf("1\n0\n");
	else  printf("%d\n%d\n",ans1,mymax(ans1,ans2));
	return  0;
}