已知 < G , ∗ > <G,*> <G,∗>是群， u ∈ G u\in G u∈G,定义“ △ \triangle △”为 a △ b = a ∗ u − 1 ∗ b a\triangle b=a*u^{-1}*b a△b=a∗u−1∗b, ∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀a,b∈G,证明 < G , △ > <G,\triangle> <G,△>为含幺半群。
∵ \because ∵ < G , ∗ > <G,*> <G,∗>是群， u ∈ G u\in G u∈G
∴ \therefore ∴ u − 1 ∈ G u^{-1}\in G u−1∈G
∴ ∀ a , b , ∈ G , a ∗ u − 1 ∗ b ∈ G \therefore \forall a,b, \in G,a*u^{-1}*b\in G ∴∀a,b,∈G,a∗u−1∗b∈G
∵ a △ b = a ∗ u − 1 ∗ b \because a\triangle b=a*u^{-1}*b ∵a△b=a∗u−1∗b
∴ < G , △ > \therefore <G,\triangle> ∴<G,△>是封闭的
∵ ∀ a , b , c ∈ G , ( a △ b ) △ c = a △ ( b △ c ) = a ∗ u − 1 ∗ b ∗ u − 1 ∗ c \because \forall a,b,c\in G,(a\triangle b)\triangle c=a\triangle (b\triangle c)=a*u^{-1}*b*u^{-1}*c ∵∀a,b,c∈G,(a△b)△c=a△(b△c)=a∗u−1∗b∗u−1∗c
∴ < G , △ > \therefore <G,\triangle> ∴<G,△>是半群
∀ a ∈ G , a △ u = a ∗ u − 1 ∗ u = a ∗ e = a \forall a\in G ,a\triangle u=a*u^{-1}*u=a*e=a ∀a∈G,a△u=a∗u−1∗u=a∗e=a
u △ a = u ∗ u − 1 ∗ a = e ∗ a = a u\triangle a=u*u^{-1}*a=e*a=a u△a=u∗u−1∗a=e∗a=a
∴ u 是 半 群 < G , △ > \therefore u是半群<G,\triangle> ∴u是半群<G,△>的幺元
∴ < G , △ > \therefore <G,\triangle> ∴<G,△>是含幺半群.