整理部分双指针算法（重点：龟兔赛跑算法，含证明）

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一、同速指针

问题描述： 从单链表中找到倒数第n个结点。

直觉算法

遍历一遍链表，得到链表长度 length，然后指针重新指向表头，设置从 0 开始的计数器，指针每往后移动一个，计数器加 1 ，当计数器变为 length - n 时，就找到了倒数第 n 个结点。

双指针算法

使用两个指针，假设为 p、q，p 指向表头，q 先向后移动指向第 n 个结点。然后两个指针同时向后移动，直至 q 走到链表末尾。此时 p 就指向了倒数第 n 个结点。

效率分析

两者的效率好像是类似的，只是第二种解法更新颖简洁一点(^-^)。

二、快慢指针

问题一：查找单链表中的分位点

问题描述： 查找单链表的中间结点（这是二分位点，也可以是其它分位点）

直觉算法

遍历链表获得链表长度，然后再计数获得中间结点。

快慢指针算法

使用两个指针，假设为 p、q，两者初始时都指向表头。p 一次向前移动一个结点，q 一次向前移动两个结点。当 q 移动到链表末尾，此时 p 就指向了链表的中间结点。

效率分析

效率感觉还是差不多（以取地址为基本操作进行分析），怎么搞的(0-0)，第二种代码可能更简洁一点。

问题二：判圈

问题描述： 如何检测一个单链表是否有环？如果有环，如何确定环的起点以及长度？

直觉算法

用哈希表保存已经走过的结点指针，查找判断当前指针是否在之前已经出现过。

龟兔算法（Floyd cycle detection）

龟兔其实是快慢指针，假设为 p、q，初始时都指向单链表表头，p 指针每次移动一个结点，q 指针每次移动两个结点。如果 p、q 再次相遇，则说明有环。如果 q 走到链表末尾还没与 p 相遇，则无环。

符号约定及定义： 约定单链表表头为 A，环起点为 B，龟兔相遇结点为 C。定义 |AB| 表示沿单链表方向结点 A 到结点 B 的距离，距离值的定义为乌龟走的步数，如图 |AB| = 3。环长为 L，表示乌龟从环起点出发回到环起点所走的步数。
令 $m = |AB|(m\ge0)，n = |BC|(0\le n\le L)$则从出发到相遇，乌龟所走的距离为: $S=m+n$后面有证明乌龟不可能绕环超过一圈。
兔子所走的距离为： $2S=m+n+aL,a\in N^+$上面两式相减，并联立乌龟所走的距离得： $m+n=aL$由此可知，m+n是环长L的整数倍。

环起点： 当龟兔相遇后，令乌龟返回表头 A，兔子留在相遇结点 C，两者都一次向前移动一个结点（此时已是同速指针），此时乌龟往环的位置赶，兔子在环内转圈圈。当乌龟赶到环起点时，兔子也移动了 m，加上初始时距环起点的 n，兔子距环起点 m+n，为环长 L 的整数倍，此时兔子也刚好到达环起点，两者再次相遇，相遇结点就为环起点 B 。

环长度： 接着上一步，龟兔同时指向环起点，此时让两者中的一个留在 B，一个逐结点向前推进，并同步计数，当两者再次相遇就得到了环长 L。

证明快指针 q 一定会追上慢指针 p。（像是证明显然(^-^)）

p 在 q 前一个结点时，两者经过一次移动两者相遇。
假设 p 在 q 前 k 个结点时，经过有限次移动两者一定会相遇。
则当 p 在 q 前 k+1 个结点时，经过一次移动，变为 p 在 q 前 k 个结点，则经过有限次移动两者一定会相遇。
得证。

证明慢指针 p 绕环不可能超过一圈。

1. 单链表本身为环的情况
   p、q 同时从环起点（表头）出发， 当 p 绕环一圈时，由于 $D_q=2D_p$，q 刚好绕环两圈，此时两者在环起点相遇。
   下面证明此前不可能相遇（出发时不算），即 p 绕环一圈时是第一次相遇：
   假设 p、q 在此之前相遇，相遇结点和环起点的距离为 $n(0<n<L)$，则 $D_p=n$ $D_q=n+L$即 $n+L=2n\Rightarrow n=L$与假设矛盾，故假设不成立。
   补充： $D_q=n+L$需要稍稍分析一下，首先一定有 $D_q=n+kL,k\in N^+$。又 $D_q=n+kL=2n<2L\Rightarrow 0<(2-k)L$，所以 $k<2$，即只能有 $k=1$。
2. 单链表有环，但不全为环的情况
   考虑 p 追上 q 要走的最远距离的情况是，q 刚好在 p 的前一个结点。
   首先证明这种极端情况不可能发生在 p 的上一步已经在环内时（可以用于算法调优）：
   假设 p 的上一步已经在环内，且在 p 的当前步出现了上述极端情况，即 q 在 p 的前一个结点。
   回退到上一步可以发现，p、q 已经相遇，算法结束。故假设不成立
   所以这种情况只能发生在 p 刚进入环起点时，q 在 p 的前一个结点。
   此时相遇之前两者之间的距离小于情况一，所以在 p 绕环一圈之前，两者就已经相遇。

效率分析

由于慢指针最多走一遍单链表，所以Floyd cycle detection的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。与直觉算法相比少了哈希表的使用，降低了空间复杂度。