郊区春游(状压dp)

郊区春游

题意：
给出$n$个地方，$m$条路，每条路都有一个权值$v$，$R$个想去的地方，问怎么安排行程使花费最少。

思路：
首先我们用$Floyd(O(n^3))$求每两个地方的最小花费。
再因为$R$的取值范围是$[2，15]$，我们可以用二进制位$(0or1)$来表示某个位置是否已经参观过，例如$6=(0110{)}_2$，就可以表示第1个和第2个地方我们已经参观过了。
之后我们用$dp[i][j]$来表示$i,j$状态下的最小花费。其中$i$是上面说到的二进制表示，$j$表示此刻在第$j$个位置(注意dp初始化)。
现在就是状态的转移:
$$dp[i+(1<<k)][k]=min(dp[i+1<<k][k],dp[i][j]+F[g[j][g[k]]$$
方程的含义就是是否要通过状态$dp[i][j]$达到$dp[i+(1<<k)][k]$的状态(选择花费较小的)。其中的$i+(1<<k)$，i并没有经过第k个地方，当$i+(1<<k)$后第$k$个位置上就将变成$1$。

我们将$i$在区间$[1,2^r-1]$枚举，枚举每种选择状态。$j$和$k$都在在区间$[0,r]$上枚举。
最后取$max(dp[(1<<r)-1][i])(i\in [0,r])$

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 1<<23;
const int N = 20;
const int M = 210;
int g[N], F[M][M], dp[1 << 15][20];
int main() {
    
    
    int n, m, r, a, b, c;
    cin >> n >> m >> r;
    for(int i=0; i<r; i++) cin >> g[i];
    //初始化F数组
    for(int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        for(int j=1; j<=n; j++) {
    
    
            if(i != j) F[i][j] = inf;
        }
    }
    //读入每条路径
    for(int i=0; i<m; i++) {
    
    
        cin >> a >> b >> c;
        F[a][b] = min(F[a][b], c);
        F[b][a] = F[a][b];
    }
    //floyd求两点之间最小花费
    for(int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        for(int j=1; j<=n; j++) {
    
    
            for(int k=1; k<=n; k++) {
    
    
                F[j][k] = min(F[j][k], F[j][i] + F[i][k]);
            }
        }
    }
    //初始化dp数组
    memset(dp, 0x7f, sizeof dp);
    for(int i=0; i<r; i++) {
    
    
        dp[1 << i][i] = 0;
    }
    //枚举i，j，k。状态转移
    for(int i=1; i<(1 << r)-1; i++) {
    
    
        for(int j=0; j<r; j++) {
    
    
            if(i & (1 << j)) {
    
    
                for(int k=0; k<r; k++) {
    
    
                    if(!(i & (1 << k))) 
                    dp[i + (1 << k)][k] = min(dp[i + (1 << k)][k], dp[i][j] + F[g[j]][g[k]]);
                }
            }
        }
    }
    //取最大值，得到答案。
    int ans = inf;
    for(int i=0; i<r; i++) {
    
    
        ans = min(ans, dp[(1 << r)-1][i]);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}