题目论述:12个长相一样的球中仅有1个球与其他球质量不同,且不确定是重还是轻。请用天枰进行不超过三次的称重,检测出是哪个球与众不同,并且要得出是重还是轻的结论。
为叙述方做如下定义。
定义1:与众不同的球为X球,11个相同的球为O球,若与众不同的球比其他11个球重,则为重球,否则为轻球。
定义2:称重中若球A比B重,则A>B;若天枰平衡则A=B;表达式中的A,B,C。。。等编号直接代表编号为A,B,C球的质量。
称重的方法流程如下:
STEP1:任意取出8个球分成两组称重,将球进行编号A+B+C+D vs E+F+G+H。
如果天枰平衡,说明X球在未称重的4个球中,进行STEP2,否则进行STEP3。
STEP2:由STEP1得出称重的8个球为O球,另四个球编号A,B,C,D。取出一个O球组成如下图组合称重 O+A vs B+C
Case1:O+A=B+C,说明D球为X球,取出任意O球进行第三次称重 O vs D,若O>D则D为轻球,反之为重球。
Case2:O+A>B+C,进行第三次称重 B vs C:
如果B>C :则在B,C中存在轻球,且B为O球,C为轻球。
如果B<C :则在B,C中存在轻球,且B为轻球,C为O球。
如果B=C :则A为X球,又因O+A>B+C,则A为重球。
Case3: O+A<B+C,进行第三次称重B vs C:
如果B>C:则在B,C中存在重球,且B为重球,C为O球。
如果B<C:则在B,C中存在重球,且B为O球,C为重球。
如果B=C:则A为X球,又因O+A<B+C,则A为轻球。
STEP3:由STEP1得到8个未定球中有一个特别球,不妨设天枰形态为A+B+C+D>E+F+G+H ①
进行第二次测量O+A+E vs B+F+G ,即在第一次测量的基础上交换B和E,用任一
O球置换C球,天枰两侧各去掉一个D和H。
Case1:O+A+E = B+F+G,说明在①式中A,B,E,F,G均为O球,①式化简为C+D>O+H。
进行第三次测量称重C vs D,此情形同STEP2中case3.
如果C>D:则在C,D中存在重球,且C为重球,D为O球;
如果C<D:则在C,D中存在重球,且C为O球,D为重球;
如果C=D:则H为X球,又因C+D>O+H,则H为轻球。
Case2:O+A+E > B+F+G②,说明STEP3中去掉的C,D,H为O球,且交换过程中无影
响的B和E也为O球,此时②化简为O+A>F+G,第三次称重F vs G。
如果F>G:则在F,G中存在轻球,且F为O球,G为轻球;
如果F<G:则在F,G中存在轻球,且F为轻球,G为O球;
如果F=G:则A为X球,且A为重球。
Case3:O+A+E < B+F+G,说明交换的B和E中有一个是X球,且B>E。此时用任一O球同B和E中任一一球称重,不妨 O vs B。
如果O=B,则E为轻球。
如果O<B,则B为重球。
不会出现O>B的情况,反之若O>B,则B为轻球,E为O球,矛盾!
在称重过程得出两个有用的结论。
结论一:称重中经常会出现一个特定的情形:4个球中有一个是O球,其他3个未知球中有一
个是X球,将四个球任意分成两组,不妨设O+A vs C+D,此时将得到天枰的一个状态,然后
再 次称重 C和D便可得出三个未知球中的所有信息。
结论二:8个球在已知天枰形态的情况下再经过两次称重可以得到所有信息;4个球分成两组
在未知天枰形态下经过2次称重可得到所有球的信息。而所有的情况都可以化为最简单的结论
一的情形。
一般情形下的再说吧,太难了。