LeetCode每日一题837. 新21点
题目描述
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
样例数据
示例 1：
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。
题解&new skills √
优化前（TLE）
动态规划：
令dp[x]表示从得分为 x 的情况继续开始并且获胜的概率，当分数达到或超过 K 时游戏结束，游戏结束时，如果分数不超过N则获胜，如果分数超过N则失败。因此当 K≤x≤min(N,K+W−1) 时dp[x]=1，当 x>min(N,K+W−1) 时 dp[x]=0
min(N,K+W−1)解读：只有在分数不超过 N时才算获胜，其次，可以达到的最大分数为K+W−1。
在范围 [1, W]内随机抽取一个整数，且每个整数被抽取到的概率相等，因此可以得到如下状态转移方程：
所以按照以上思路可得代码：
class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K==0){
return 1.0;
}
vector<double> dp(K+W+1);
for (int i=K;i<=N&&i<K+W;i++) {
//K≤当前得分≤N 并且当前得分为可得得分，获胜概率为1
dp[i]=1.0;
}
for (int i=K-1;i>=0;i--) {
for (int j=1;j<=W;j++) {
dp[i]+=dp[i+j]/W;
}
}
return dp[0];
}
};
时间复杂度 O(N+KW) 提交发现TLE 想一想还有没有其他的办法
优化后（AC）
dp[i]表示的是当总共分数为i时的概率为dp[i]，我们求出dp[N]，由于每个数被抽的概率是相同的。
所以
class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K==0){
return 1.0;
}
vector<double> dp(K+W+1);
dp[0]=1.0;
double sum=1.0;//累加dp[i]~dp[N-1]
double ans=0.0;
for (int i=1;i<=N;i++) {
dp[i]=1.0*sum/W;//动态转移方程
if(i<K){
sum+=dp[i];//继续抽
}else{
ans+=dp[i];//表示当前选的点是符合要求的，那么将其加入到符合条件的概率当中
}
if(i>=W){
sum-=dp[i-W];//将前面的数据替换掉
}
}
return ans;
}
};