LeetCode 837. 新21点 (DP、全概率公式、前缀和)

新21点

• 题意
  爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
  爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
  当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

• 状态
  将K当成是可以使用的权限值。那么每抽取一个数字，权限值少一点，累积的分数多一点。
  $f(k)$表示当爱丽丝以权限值为$k$时，继续这场游戏获胜的概率（这个时候，累积分数为$K-k$ ）。

那么我们的答案其实就是$f(K)$。

• 状态转移方程
  $f(k)=1/w\ast (f(k-1)+f(k-2)+\dots \dots +f(k-w))$
  其实就是全概率公式。

• 注意点
  注意到，权限值会从$K$一直减少到$0$，也可能一下子转移到负数，相当于最后一次抽取一下子全用光了权限值（并且还不够）。
  那么基本状态其实就是:
  $f(K-N)=f(K-N+1)=\dots \dots =\dots \dots f(0)=0$
  注意$f(K-N-1)、f(K-N-2)、\dots \dots$等等概率都为0，因为这个时候相当于累积分数超过了$N$。
  由于负数不能作为数组下标，还要做一个线性映射。

• 优化
  用一个前缀和优化是很明显的。

class Solution {
    
    
public: 
    double new21Game(int N, int K, int W) {
    
    
        double f[20010] = {
    
    0}, sf[20010] = {
    
    0},v = 1.0/W;
        // K-x-10000 <= N-10000;    K - x' <= N-10000;   x'>= K-N+10000;
        // x+10000 <= 10000;        x' <=  10000
        // x  <------> x+10000; 
        // f[x] = v*f[x-1]+v*f[x-2]+…………+v*f[x-W]; 
        // f[x+10000] = v*( f[x-1+10000] +  ……………… + f[x-W+10000] );
        for(int x=id(K-N);x<=id(0);x++){
    
    
            f[x] = 1;
            sf[x] = sf[x-1] + f[x];
        }

        for(int x=id(1);x<=id(K);x++){
    
    
            // f[x] = v*( sf[x-W,x-1]    );
            f[x] = v*(sf[x-1]-sf[x-W-1]);
            sf[x] = sf[x-1] + f[x];
        }
        return f[id(K)];
    }
    int id(int x){
    
    
        return x+10000;
    }
};

• 另一种状态表示
• $dp[x]$表示累计得分为$x$的情况下，获胜的概率；
• 基本状态：$dp[x]=1(K<=x<=min(N,K-1+W))$
• 转移方程：$dp[x]=1/W\ast (dp[x+1]+dp[x+2])+\dots \dots +dp[x+W]$
• 目标值：$dp[0]$,(因为一开始得分为0)
• 差分优化或者后缀和优化。