题目描述
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以0分开始，并在她的得分少于 K分时抽取数字。 抽取时，她从[1, W]的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于K分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过N 的概率是多少？
示例 1：
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。
解题思路
本题利用动态规划的思想，令dp[i]表示当手里的数字为i时获胜的概率，本题要求dp[0]。
因为手中牌最大为K+W-1（手中牌为K-1，又抽中了W），因此初始化一个长度为K+W的数组。
- 当手中的牌当
N >= i >= K时，游戏结束，获得胜利（返回1）。当i>N时，游戏失败（返回0）。 - 当手中的牌
i <= K-1时，dp[i] = (dp[i+1]+...+dp[i+W]) / W。
由于利用循环求和dp[i+1]+...+dp[i+W]时会超出时间限制，因此我们利用窗口效应，设一个变量window来记录当前的dp[i+1]+...+dp[i+W]。i每向前移动一格，窗口也会跟着移动一格。如下图所示：
上图参考：
https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/solution/
具体实现细节详见伪代码。
完整代码
class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
//如果K为0，最后肯定可以成功。
if(K == 0){
return 1.0;
}
//利用动态规划的思想，dp[i]表示当手里的数字为i时获胜的概率，本题要求dp[0]。
//手中牌最大为K+W-1，因此初始化一个长度为K+W的数组。
double dp[K+W];
/*for(int i =0;i<K+W-1;i++){
dp[i] = 0;
}*/
double window = 0.0;
//当N>=i>=K时，游戏结束，获得胜利。当i>N时，游戏失败。
for(int i = K;i<K+W;i++){
dp[i] = (i > N) ? 0 : 1.0;
window += dp[i];//利用window值记录这一总和（滑动窗口原理）
}
//当i<=K-1时，dp[i] = (dp[i+1]+...+dp[i+W])/W
for(int i = K-1;i>=0;i--){
dp[i] = window/W;
window += dp[i];
window -= dp[i+W];
}
return dp[0];
}
};
性能结果
个人感悟
做了一些动态规划的题，个人感觉确实是状态转移方程最难写。
有些时候需要求dp[i]，比如No.194 LeetCode题目 “打家劫舍”。
有些时候需要求dp[0]，比如本题。
这两种思路主要是要考虑从前往后计算，还是从后往前计算。
这道题就是要从后往前计算，因为后一状态决定了前一状态。
同时dp[i]这个物理量如何解释也是要思考的问题之一，之后遇到动态规划还要多多练习。