n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
示例：
输入：4
输出：[
[".Q…", // 解法 1
“…Q”,
“Q…”,
“…Q.”],
["…Q.", // 解法 2
“Q…”,
“…Q”,
“.Q…”]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
题解：利用回溯法遍历所有可能的情况，找出满足要求的情况，为了降低时间复杂度，我们可以在遍历的同时增加一些条件限制——每当我们在一个位置上放置了一个皇后时，我们可以将左斜线，右斜线，竖直方向和横向方向设置为“禁区”，即不能放皇后的位置，同时为了方便回溯，我们以横行为单位，从上到下的放置皇后，每一行放一个（由于n个皇后放置在n ∗ * ∗n的棋盘上，所以必定每一行放一个）。
import java.util.*;
class Solution {
private final Stack<Integer>stack=new Stack<>();
private final List<List<String>>res=new ArrayList<>();
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
//二维布尔型数组记录不能放置皇后的位置
boolean[][] banned=new boolean[n][n];
DFS(banned,0);
return res;
}
private void DFS(boolean[][]banned,int row){
if(stack.size()== banned.length){
getMap(stack,res);
return;
}
Queue<int[]>save=new LinkedList<>();
int len=banned[row].length;
//在每一行从左到右一次尝试放皇后
for(int i=0;i<len;i++){
if(!banned[row][i]) {
stack.add(i);
//将该行往下的每一行不能放置皇后的位置都设置为true
for (int j = row; j < banned.length; j++) {
if(!banned[j][i ]) {
save.add(new int[]{
j, i});
banned[j][i] = true;
}
int k = j - row;
if (i + k < len&&!banned[j][i + k]) {
save.add(new int[]{
j, i + k});
banned[j][i + k] = true;
}
if (i - k >= 0&&!banned[j][i - k]) {
save.add(new int[]{
j, i - k});
banned[j][i - k] = true;
}
}
DFS(banned, row + 1);
stack.pop();
//还原
while(!save.isEmpty()){
int[] temp=save.poll();
banned[temp[0]][temp[1]]=false;
}
}
}
}
private void getMap(Stack<Integer>stack,List<List<String>>res){
int size=stack.size();
List<String>map=new ArrayList<>();
for(int x:stack){
StringBuilder row=new StringBuilder();
for(int i=0;i<size;i++){
if(i!=x)
row.append(".");
else
row.append("Q");
}
map.add(row.toString());
}
res.add(map);
}
}
优化：我们可以通过棋盘的规律优化代码——其实棋盘上的每一条斜线都有一个该斜线独有的数字，比如同一条右斜线上的点横纵坐标的差为一个特有的常数，左斜线上的点横纵坐标上的和为一个特有常数，同时不同列可以用列标数字进行区分，所以，我们不必再用二维数组来保存不能放置皇后的点，直接用一个数字来代表某条斜线上或某列上不能放置皇后。
import java.util.*;
class Solution {
private final Stack<Integer>stack=new Stack<>();
private final List<List<String>>res=new ArrayList<>();
private final Set<Integer>left=new HashSet<>();
private final Set<Integer>right=new HashSet<>();
private final Set<Integer>down=new HashSet<>();
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
boolean[][] banned=new boolean[n][n];
backTrace(0,n);
return res;
}
private void backTrace(int column,int len){
if(stack.size()==len){
getMap(stack,res);
return;
}
for(int i=0;i<len;i++){
int rightKey=column-i;
int leftKey=column+i;
if(!right.contains(rightKey)&&!left.contains(leftKey)&&!down.contains(i)) {
right.add(rightKey);
left.add(leftKey);
down.add(i);
stack.push(i);
backTrace(column+1,len);
right.remove(rightKey);
left.remove(leftKey);
down.remove(i);
stack.pop();
}
}
}
private void getMap(Stack<Integer>stack,List<List<String>>res){
int size=stack.size();
List<String>map=new ArrayList<>();
for(int x:stack){
StringBuilder row=new StringBuilder();
for(int i=0;i<size;i++){
if(i!=x)
row.append(".");
else
row.append("Q");
}
map.add(row.toString());
}
res.add(map);
}
}