回溯法-n皇后问题

问题描述：在nxn的棋盘上，放置彼此不受攻击的n个皇后。

规则：皇后可以攻击与之在同一行，同一列，同一斜线上的棋子。

以行为主导（不用再判断是否同行了）

算法设计：

（1）定义问题的解空间：问题解的形式为n元组： $\{x_1,x_2,...,x_i,...,x_n\}$

分量xi表示第i个皇后放置在第i行，第xi列。

（2）解空间的组织结构：m叉树

（3）搜索解空间：

约束条件：

$x_i \neq x_j$ ，不同列。

$\left | i-j \right | \neq \left | x_i-x_j \right |$ ，不同斜线。

限界条件：不存在放置方案好坏的问题。

搜索过程：从根开始，以深度优先搜索的方式进行搜索。根结点是活结点，并且是当前的扩展结点。

#include <iostream>
#include <cmath>

#define M 105
using namespace std;

int n;
int x[M];
int countn;

bool Place(int t) {
    bool ok = true;
    for (int j = 1; j < t; j++) {
        if (x[t] == x[j] || t - j == fabs(x[t] - x[j])) {
            ok = false;
            break;
        }
    }
    return ok;
}

void Backtrack(int t) {
    if (t > n) {
        countn++;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cout << x[i] << " ";
        cout << endl;
        cout << "----------" << endl;
    } else
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            x[t] = i;
            if (Place(t))
                Backtrack(t + 1);
        }
}

int main() {
    cout << "请输入皇后的个数n: ";
    cin >> n;
    countn = 0;
    Backtrack(1);
    cout << "答案的个数是： " << countn << endl;
    return 0;
}

算法复杂度分析：

（1）时间复杂度：

除最后一层： $1+n+n^2+...+n^{n-1}=\frac{n^n-1}{n-1}\approx n^{n-1}$ 个结点需要扩展。