【洛谷 P1052】过河【离散化+DP】

题目描述

题目
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入格式

第一行有1个正整数L(1≤L≤10 ^9)，表示独木桥的长度。

第二行有3个正整数S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤10,1≤M≤100。

第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入 #1

10
2 3 5
2 3 5 6 7

输出 #1

2

分析：

这个数据很灵异 我们要考虑压缩数据 也就是离散化
先排序 然后判断如果两个相邻石头间距离$<=t\ast s$
$statement+=(rock[i]-rock[i-1])$ % $t+t$
可以将桥长压缩到$10000$以内 用一个数组$p$存储桥长离散后的分布情况
枚举跳跃的最小距离到最大距离 动态能量转移方程：
$$f[i]=min(f[i],f[i-j]+distribute[i])$$
$j$枚举的是跳跃的距离 从离散化桥后第一个点 计算最小跳过石头数 在$p到p+t$之间都可以跳到终点
范围为$1到p+t$

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int rock[105],f[10005],l,s,t,m;
bool distribute[105];  //分布数组
int main(){
    
    
	scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&rock[i]);
	int statement=0;  //离散化后桥长
	sort(rock+1,rock+m+2);
	for(int i=1;i<=m+1;i++)
	{
    
    
		if(rock[i]-rock[i-1]<=t*s) statement+=rock[i]-rock[i-1];
		else statement+=(rock[i]-rock[i-1])%t+t;  //离散化
		distribute[statement]=1;  //标记
	}
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=statement+t;i++)
		for(int j=s;j<=t;j++)
			if((i-j)>=0)
				f[i]=min(f[i],f[i-j]+distribute[i]);  //DP
	int ans=0x3f;
	for(int i=statement;i<=statement+t;i++)  //枚举范围
		ans=min(ans,f[i]);  //最少石头
	printf("%d",ans);
	return 0;
}