初学AVL树记录（一）

AVL树是为何产生的？

对于一般的二叉搜索树，其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。

AVL树的特点：

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差（左子树高度-右子树高度）的绝对值最多为1。

如何解决构造AVL树时造成的不平衡情况？

首先我们先要知道AVL树出现哪几种不平衡的状况：

1.LL：插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

2.RR：插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

3.LR：插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

4.RL：插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

要解决不平衡，我们则要采取旋转的方法

（1）LL：将原根节点k2的左子树k1作为之后的根节点，并让k2左子树连接k1右子树，k1右子树连接k2。

代码如下：

private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) {
    AVLTreeNode<T> k1;

    k1 = k2.left;
    k2.left = k1.right;
    k1.right = k2;

    k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
    k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1;

    return k1;
}

2.RR：与LL是对称的情况。

代码如下：

private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    AVLTreeNode<T> k2;

    k2 = k1.right;
    k1.right = k2.left;
    k2.left = k1;

    k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
    k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1;

    return k2;
}

3.LR：第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转"，第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。我个人是将旋转的顺序看做是RL（即将LR反着看）来记忆。

代码如下：

private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) {
    k3.left = rightRightRotation(k3.left);

    return leftLeftRotation(k3);
}

4.RL：与LR是对称情况。

代码如下：

private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    k1.right = leftLeftRotation(k1.right);

    return rightRightRotation(k1);
}