1、AVL平衡树
AVL 平衡树是带有平衡条件的二叉查找树。保证树的深度深度是O（logN），定义一个不平衡的节点的定义是，他的左右子树高度差是2.
当插入一个节点之后，树可能不平衡，假设这个不平衡点是K1，造成这种不平衡的原因可能有以下四个情况：
（1）对K1的左儿子的左子树进行插入。
（2）对K1的左儿子的右子树进行插入。
（3）对K1的右儿子的右子树进行插入。
（4）对K1的右儿子的左子树进行插入。
上述四种情况（1）（4）是镜像的，（2）（3）也是镜像的。因此理论上是四种情况，实际是两种，但是编程角度而言还是四种情况。平衡树的关键是理解如何保持树的平衡，也就是几个节点的指针之间的转换。也就是AVL平衡树中所说的旋转。自己将四种情况手动画出来，思考其中的指针变化。
对于（1）（4）情况只需要执行一次单旋转即可实现树的平衡。对与（2）（3）则需要两次旋转。
下面是代码实现：
#ifndef _AVLTree_H
typedef int ElementType;
struct AVLNode;
typedef struct AVLNode *Position;
typedef struct AVLNode *AVLTree;
AVLTree MakeEmpty(AVLTree T);
Position Find(ElementType x, AVLTree T);
Position FindMax(AVLTree T);
Position FindMin(AVLTree T);
AVLTree Insert(ElementType x, AVLTree T);
AVLTree Delete(ElementType x, AVLTree T);
ElementType Retrieve(Position p);
Position SingleRotateWriteLeft(Position K2);
Position SingleRotateWriteRight(Position K2);
static DoubleRoateRight(Position K3);
struct AVLNode
{
ElementType Element;
AVLTree left;
AVLTree right;
int Height;
};
#endif#include"AVLTree.h"
//其实平衡树需要的是高度差信息。这样做可以避免平衡因子的重复计算
//但是丧失了一些简明性。最后的程序很容易比只存储高度复杂。
static int Height(Position P)
{
if (P == NULL)
return -1;
else
return P->Height;
}
//
//函数前加static将使这个函数只能在本文件内部调用适用于LL
// K2 K1
// / 变成 \
// K1 K2
//
static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
{
Position K1;
K1=K2->left;
K2->left=K1->right;
K1->right=K2;
//计算树高
K1->Height=MAX(Height(K1->left),Height(K1->right))+1;
K2->Height=MAX(Height(K2->left),Height(K2->right))+1;
return K1;
}
//
//函数前加static将使这个函数只能在本文件内部调用适用于RR
// K2 K1
// \ 变成 /
// K1 K2
//
static Position SingleRotateWithRight(Position K2)
{
Position K1;
K1=K2->right;
K2->rihght=K1->left;
K1->left=K2;
//计算树高
K1->Height=MAX(Height(K1->left),Height(K1->right))+1;
K2->Height=MAX(Height(K2->left),Height(K2->right))+1;
return K1;
}
//
//双旋转先右再左适用于LR
// K3 K3 K1
// / / / \
// K2 右转变成 K1 在左转变成 K2 K3
// \ /
// K1 K2
static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)
{
K3->left = SingleRotateWithRight(K3->left);
return SingleRotateWithLeft(K3);
}
//双旋转先左后右适用于RL型
//
// K3 K3 K1
// \ \ / \
// K2 左转变成 K1 再右转变成 K3 K2
// / \
// K1 K2
static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)
{
K3->right = SingleRotateWithLeft(K3->right);
return SingleRotateWithRight(K3);
}旋转操作是用在插入和删除操作中。
//插入节点跟二叉树不同的是插入要考虑树的平衡性问题
AVLTree Insert(ElementType X,AVLTree T)
{
//递归实现插入
if(T==NULL)
{
T=malloc(struct AVLNode);
if(T==NULL)
printf("out of space!");
else
{
T->Element=X;
T->left=NULL;
T->right=NULL;
}
}
else if(X<T->Element)
{
T->left=Insert(X,T->left);
if(Height(T->left)-Height(T->right)==2) //左子树比右子树高
{
if(X<T->left->Element)
T=SingleRotateWithRight(T); //LL型 右转
else
T=DoubleRotateWithRight(T); //LR型需要先右转再左转
}
}
else if(X>T->Element)
{
T->right=Insert(X,T->right);
if(Height(T->right)-Height(T->left)==2)
{
if(X>t->right->Element)
T=SingleRotateWithLeft(T); //RR 左转
else
T=DoubleRotateWithLeft(T); //RL 先左转再右转
}
}
T->Height=MAX(Height(T->left),Height(T->right))+1;
return T; //返回根节点
}