【SSL_1376】 完全背包(DP)

完全背包

题目

设有n 种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，
今从n 种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

Input

第一行：两个整数，M(背包容量，M<= 200)和N(物品数量，N<= 30)； 第2…N+1 行：每行二个整数Wi,Ui，表示每个物品的重量和价值。

Output

仅一行，一个数，表示最大总价值。

Sample Input

12 4
2 1
3 3
4 5
7 9

Sample Output

15

题解

这题是完全背包问题 ，（ 废话） 所以枚举容量时不能像01背包一样从大往小，
而是从小往大枚举，因为它的物品是无限的，需要用到前面的状态记录。
设f[i][j]为当容量为j时前i个物品能达到的最大价值，f初始为0，
1<=i<=n , a[i]<=j<=v , f[i][j]=max(f[i-1][j] , f[i][j-a[i]]+b[i])
a数组表示重量，b数组表示价值，j从a[i]开始是因为a[i]之前的容量肯定装不下a[i]。
状态转移方程的意思是:
f[i][j]要么不选物品i，要么选，选的话最大价值是当容量为当前容量减选的物品的重量时，前i个物品能达到的最大价值。

代码

#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
long long n,a[201],s,ans,f[201][201],v,b[201];
void dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举物品
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		for(int j=a[i];j<=v;j++){//枚举容量
			f[i][j]=max(f[i-1][j],(f[i][j-a[i]]+b[i]));//选或不选挑最大
			ans=max(ans,f[i][j]);//答案为最大价值
		}
	}
}
void in(){
	cin>>v>>n;
}
int main(){
	in();
	dp();
	cout<<ans;
}

当然，这题还能优化，用一维滚动数组代替二维数组，减少空间。
因为前面的f数组只需用到i-1，在前面的不会用到，所以只用一维数组。

#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
long long n,a[201],s,ans,f[201],v,b[201];
void dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		for(int j=a[i];j<=v;j++){
			f[j]=max(f[j],(f[j-a[i]]+b[i]));//新得到的数会覆盖无用的数据
		}
	}
}
void in(){
	cin>>v>>n;
}
int main(){
	in();
	dp();
	cout<<f[v];
}