【数学建模】最优化模型

A 概述

1 最优化模型的一般形式

最优化方法是指在一系列客观或主观限制条件下，寻求 合理分配有限资源使所关注的某个或多个指标达到最大（或 最小）的数学理论和方法，是运筹学里一个十分重要的分支。

三个要素：决策变量decision bariable，目标函数 objective function，约束条件constraints。

可行域：满足约束条件的所有x范围。

可行解：可行域上的每一个解称为可行解。

最优解：让目标函数达到最优的解。分为全局最优解和局部最优解：

最优值：最优解对应的目标函数的值

2 最优化模型的分类

B 优化模型之运输问题

1 运输问题的数学模型

2 一般运输问题的求解

此题为产销平衡问题。

model:
title 运输问题;
sets:
s1/1..3/:a;  !定义产地;
s2/1..4/:b;  !定义销地;
ss(s1,s2):x,c;!定义运量和单价;
endsets
data:
c=3 11 3 10
  1 9 2 8
  7 4 10 5;  !单价;
a=7,4,9;  ! 产地限量;
b=3,6,5,6; ! 销地需求量;
enddata
min=@sum(ss(i,j):c(i,j)*x(i,j));
@for(s1(i):@sum(s2(j):x(i,j))<a(i));  ! 产地上限;
@for(s2(j):@sum(s1(i):x(i,j))>b(j));  ! 销地下限;
end

运往仓库的量小于产量；
仓库输入等于输出；
仓库输出等于需求量；

C 优化模型之下料问题

1 一般下料问题的最优解法

model:
sets:
s/1..7/:x;
endsets
Min=3*x(1)+x(2)+3*x(3)+3*x(4)+x(5)+x(6)+3*x(7);    
4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(4)+x(5)>50;
x(2)+2*x(4)+x(5)+3*x(6)> 20;
x(3)+x(5)+2*x(7)>15;
@for(s(i):@gin(x(i)));
end

2 下料问题的非线性方法

3 大型下料问题的解法

D 优化模型之指派问题

1 矩阵覆盖法

找独立0从0少的行，列开始找。

2 Lingo求解

model:
sets:
s1/1..4/:;
s2/1..5/:;
ss(s1,s2):c,x;
endsets
data:
c=
66 57 78 70 77
65 61 74 64 71
87 66 69 69 84
59 53 59 57 62;
enddata
min=@sum(ss:c*x);
@for(s1(i):@sum(s2(j):x(i,j))=1);
@for(s2(j):@sum(s1(i):x(i,j))<1);
@for(ss:@bin(x));
end

只显示非零解（菜单栏：Lingo>solution…）

E 优化模型之目标规划

1 目标规划与线性规划的区别

以上是线性规划无法是实现的，故引入目标规划。

2 目标规划模型

F 优化模型之装箱问题

1 一维装箱问题

2 选择装箱问题

3 装箱序号提取

G 优化模型之生产计划问题

1 最少变量个数的一般模型

model:
sets:
yuefen/1..4/:c,x,e,d;
endsets
data:
c=70,71,80,76;
d=6000,7000,12000,6000;
e=2,2,2,2;
a=10000;
enddata
min=@sum(yuefen:c*x)+@sum(yuefen(j)|j#lt#4:@sum(yuefen(i)|i#le#j:(x-d))*e(j+1));
@for(yuefen(j)|j#lt#4:@sum(yuefen(i)|i#le#j:x)>@sum(yuefen(i)|i#le#j:d));
@sum(yuefen:x)=@sum(yuefen:d);
@for(yuefen:x<a);
end

2 存储平衡模型

model:
sets:
yuefen/1..4/:c,x,e,d,s;
endsets
data:
c=70,71,80,76;
d=6000,7000,12000,6000;
e=2,2,2,2;
a=10000;
enddata
min=@sum(yuefen:c*x+e*s); 
@for(yuefen(i)|i#lt#4:s(i+1)=s(i)+x(i)-d(i));
s(4)+x(4)-d(4)=0;
@for(yuefen:x<a); 
end

3 转化运输模型

model:
sets:
yuefen/1..4/:a,d,xx;
link(yuefen,yuefen)|&2#ge#&1:c,x; 
endsets
data:
c=70 72 74 76 
     71 73 75 
        80 82 
           76; 
d=6000 7000 12000 6000;
a=10000 10000 10000 10000; 
enddata
min=@sum(link:c*x); 
@for(yuefen(i): @sum(yuefen(j)|j#ge#i: x(i,j))<a(i);); 
@for(yuefen(j):@sum(yuefen(i)|j#ge#i: x(i,j))>d(j);); 
@for(yuefen(i): xx=@sum(yuefen(j)|j#ge#i: x(i,j))); 
end

H 优化模型之非线性规划

MODEL: 
Title 第二小问; 
sets: 
demand/1..6/:a,b,d; 
supply/1..2/:x,y,e; 
link(supply,demand):c; 
endsets
data: 
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25; 
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75; 
d=3,5,4,7,6,11; e=20,20; 
enddata
!初始段：对集合属性定义初值（迭代算法的迭代初值）; 
init: 
!初始点; 
x,y=5,1,2,7; 
endinit
min=@sum(link(i,j): c(i,j)*((x(i)-a(j))^2+(y(i)-b(j))^2)^(1/2) );
@for(demand(j):@sum(supply(i):c(i,j)) =d(j);); 
@for(supply(i): @sum(demand(j):c(i,j)) <=e(i); ); 
@for(supply: @bnd(0.5,X,8.75); 
@bnd(0.75,Y,7.75); ); 
end

I 优化模型之多目标规划

1 引例

2 多目标问题的数学模型

3 多目标问题的求解方法

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