《程序员的数学1》读书笔记整理

前言

因为感觉数学不是太好，计算机方面又需要数学的知识，但是直接看数学的教材又看不太懂，加上也不想从事数学方面的工作，就看看《程序员的数学》来了解一下，它对于很多人可能是一本很基础的书籍，但对我来讲再合适不过。

这也是一本很有名的书籍，每个国家的书籍都会带有不同的特点，而日本书带给我最大的印象，就是通俗，好玩，甚至说是啰嗦，有的时候看日本人写的书籍，感觉翻来覆去那几个观点反复论证，生怕你听不懂了。

所以我相信这本书会让我有一些收获的，起码，我相信他想教给我的，我肯定能看懂。

我的章节安排也是按照书中的章节安排来做的，但是我并不平铺直叙的说书中的内容，而是说一些我的感受，或者总结书中的知识点，对于你而言，就是了解一下，如果你有和我一样的需求，或者你对此干兴趣的话，也推荐你去看这本书。 毕竟，这是我总结的，是我的东西，你看的是我总结的东西，肯定会味同嚼蜡，很枯燥，而书中是极其有趣的。

0的故事——无即是有

10进制计数法是我们平时使用的比较多的

1. 使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字
2. 数位从右往左分别表示个位、十位、百位、千位……

我们以2503这个数为例子。 2503表示的是以2、5、0、3这4个数字组成的一个称作2503的数。
只是因为数位不同而意义不同：

• 2表示“1000的个数”
• 5表示“100的个数”
• 0表示“10的个数”
• 3表示“1的个数”

那么2503就应该是2 * 1000 + 5 * 100 + 0 * 10 + 3 * 1 =2 * 10³ + 5 * 10² + 0 * 10¹ + 3 * 10⁰
                         = 2000 + 500 + 0 + 3
                         =2503

我们可以看到千位、百位、十位、个位分别可以称作10³、10²、10¹、10⁰位，10进制计数法的数位全是10ⁿ的形式，这个10称作10进制计数法的基数或底。

基数的右上角的数字，我们称为指数，是从右向左为0、1、2、3这样有规律的顺次排列的。

2进制计数法是计算机在处理数据时所有的计数法

1. 使用的数字只有，0、1，共2种，
2. 从右往左分别表示1位、2位、4位、8位……

用2进制计数法来数数，首先是0，然后是1，接下来不是2，而是在1上面进位变成10，然后是11,100,101……

由10进制的原理相通：
以1100这个数字为例，各个数位也都有不同的意义，从左往右依次为：

• 1表示“8的个数”
• 1表示“4的个数”
• 0表示“2的个数”
• 0表示“1的个数”

也就是说2进制的1100是1个8、 1个4、 0个2、和0个1累加的结果，即8 + 4 + 0 + 0 = 12 。
所谓的8 4 2 1，就是2³、 2²、2¹、2⁰。

2是2进制的基数或底。


基数转换

如果把10进制中的12转换为2进制，只需要将12反复地除以2（12除以2，商为6；6再除以2，商为3；3再除以2……），并写出余数是“1”还是“0”，余数为0则表示除完了，随后再将每步所得的余数逆向排列，由此就得到2进制表示了。

按位计数法

上面的10进制和2进制一般被称作按位计数法，除了十进制和2进制外还有很多种类的按位计数法，比如编程中也常常使用8进制和16进制计数法。

8进制计数法的特征如下：

1. 使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7共8种数字
2. 从右往左分别是8⁰、8¹、8²、8³的位……（基数是8）

16进制计数法的特征如下：

1. 使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16种
2. 从右往左分别是16⁰、16¹、16²、16³的位……（基数是16）
3. 我们可以看到，在16进制计数法中，使用ABCDE（有时也用abcde）来表示10以上的数字

由此，我们可以推出
N进制计数法的特征如下：

1.使用的数字有0、1、2、3、……、N - 1，共N种
2. 从右往左分别是N⁰、N¹、N²、N³的位……（基数是N）

不适用按位计数法的罗马数字

按位计数法在生活中最为常见，但实际上在我们身边也有不按位计数法的例子，比如**罗马计数法**，至今罗马数字还常常出现在钟表表盘上。

罗马计数法的特征如下：

• 数位没有意义，只表示数字本身
• 没有0
• 使用I(1)、V(5)、X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)

表示3的话，就是III，也就是3个1叠在后面。
表示6的话，不是IIIIII，而是需要把IIIII表示为V，所以是VI。
表示61的话，就是LXI，表示为50 + 10 + 1 = 61。 实际上就是从左到右累加的结果

这就是罗马数字的加法，大的放左边，小的放右边，表示加法，把挨个表示的数字加起来

而罗马数字的减法，就是大的放右边，小的放左边，表示减法。VI表示5 + 1，IV则表示 5 - 1

比如：

• 200 + 10 -3 + 50 - 6怎么表示呢？
  应该是CCLIIIIVX = CCLI
  首先CCL代表100 + 100 + 50.
  IIIIVX可以拆解为IIIIV和X
  IIIIV是一个加法，加起来是1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9.
  9在X(10)的左边，说明是减法，所以IIIV(9)X(10) = I(1)
  所以答案是CCLI

指数法则

我记得刚开始学习指数的时候，接触的都是平方，后来能接触到一些立方，但诸如N⁰这种是在最后面学习的，记得书上只有一句话——任何数的0次方都等于1。

对当时的我而言，这句话只是几个字而已。。。就以10为基数演示，10²是2个10相乘，10⁰不应该是0个10相乘吗？怎么会是1呢？

那么为什么N⁰=1呢？还是拿10为基数演示：

众所周知，10³是1000,10²是100，10¹是10，那么我们能推出10⁰是多少吗？

  我们可以看到，每当10的指数减1，数就变为原先的10分之1，因此，10⁰就是1， 那么10ⁿ(n包括0)可以遵循下面的规律：

指数每减1，数字就变为原来的10分之1，那么我们也可以推出Nⁿ的规律，指数每减1，数字就变为原来的N分之1.

那么我们保持住这个逻辑，再往下纵深，10^-1是什么？ 同样套用上面的规则（指数每减1，数字就变为原来的10分之1）

原来10^-1 为1/10是非常理所应当的事情。

接下来我们再用相同的方法，推一下2⁰的值，10ⁿ的时候，指数每减1，值就变为原来的1/10，很自然的想到，2ⁿ的时候，指数每减1，值就变为原来的1/2.

再往下纵深，2^-1就是2⁰的1/2，也就是2⁰除以2。

在从前的时候，我们记忆诸如10⁰的值，是靠对公理的记忆，但是现在当我们重新捋出10⁰的逻辑之后，我们让规则变得更简单了，我们在以后的学习中，更需要考虑的是，如何对一种现象进行适当的定义，以期让规则变得更简单。 这就从记忆力的问题转变为了想象力的问题，这种思维方式是这样的：“以简化规则为目标去定义值”。

到这里，之前的这些“规则”我们就取名为“指数法则”，接下来我们需要把这一部分的数学规则更抽象一些，就能得到指数法则的表达式了。
                    N^a * N^b = N^a+b

当我乍一看到这个表达式的时候，我还不太清楚它和前面的指数演变规律有什么联系，我们就看下面的演变，10⁰是1，指数加1，相当于在原来的基础上乘10，那么:
10¹ = 1 * 10 = 10⁰ * 10¹ = 10⁰⁺¹.
10² = 1 * 10 * 10 = 10⁰ * 10¹ * 10¹ 我们在上一个式子已经算得10⁰ * 10¹ = 10¹
那么，10⁰ * 10¹ * 10¹ = 10¹ * 10¹ = 10¹⁺¹.

同理：

10³ = 1 * 10 * 10 * 10 = 10⁰ * 10¹ * 10¹ * 10¹ = 10² * 10¹ = 10²⁺¹.

这样，我们就证明了N^a * N^b = N^a+b.

在我当年，直接给我这样一个表达式的时候，我只是把它背了下来而已，但是这样层层的递进再去理解的时候，会发现指数法则的模型抽取原来是如此的合理。

0所起的作用

1、占位

例如用10进制表示2503，这里面的0表示十位“没有”，虽说“没有”，但是这个0不能省略，如果省略了，就变成了253，那就是另一个数字了，在按位计数法中，数位具有很重要的意义，0的作用就是占着一个位置以保证数位高于它的数字不会产生错位。

2、统一标准，简化规则

以2503举例，可以变成2 * 10³ + 5 * 10² + 0 * 10¹ + 3 * 10 ⁰ = 2503

如果没有规定N⁰ = 1. 我们就必须特别处理“1”这个数字，0在这里起到了标准化的作用。

人类的极限和构造的发现

数学表示法的历史

古埃及人： 使用5进制和10进制混合的计数法，不是按位计数法，不存在0，将数字记在一种纸莎草纸上。

巴比伦人： 在黏土板上用棱形记号来表示数，他们使用表示1和10的两种棱形记号来表示1~59，并通过记号所在的位置来表示60ⁿ的数位，由此10进账和60进账混合的按位计数法就诞生了，现在通用的1小时为60分钟，1分钟未60秒的时间换算就是源于巴比伦的60进制计数法。 另外因为黏土板和纸莎草纸有所不同，很难写多种白吐司的记号，因此，巴比伦人需要以尽可能少的记号来表示数，也许正因此，才促成了按位计数法的产生。

古希腊人： 不仅仅把数字当做运算工具，还在其中注入哲学真理。他们将图形、宇宙、音乐与数字相关联。

玛雅人： 数数时从0开始，使用的是20进制计数法。

罗马人： 使用5进制和10进制混用的罗马数字。将1、5、10、50、100、500、1000表示为I、V、X、L、C、D、M. 比如IV表示4，IX表示9. 将数字列在左侧表示减法的表示法是后来制定的，古罗马时并不这样用。

印度人： 印度人在引进巴比伦的按位计数法的时候，把“0”也引了进去，而且采用的是10进制计数法。现在我们使用的0~9，被称为阿拉伯数字而不是印度数字，也许是因为将印度数字传入西欧的是阿拉伯学者的缘故吧。

为了超越人类的极限

接下来为什么人类需要发明计数法呢？

以罗马数字为例，将5表示为V，不过好像将5表示为IIIII也可以，但是这种方法的弊端在于数越大就越难处理，比如IIIIIIIIII和IIIIIIIIIII哪个大？不能马上得知。而X和XI就能马上比较谁大谁小。
这就是前辈们创造出的“单元”的概念。假如要表示“十二”，比起IIIIIIIIIIII，用XII比较方便，若使用按位计数法，写成“12”则更方便。

10进制计数法和按位计数法都是因为人类的能力有限，所以面对大的数字必须简便的表示，而如今，我们的数据越来越大了，按位计数法也显得力不从心了，10000000000000和100000000000000哪个大呢？很难一眼看出来，这时候，指数表示法显得异常重要，如果把刚才的两个数字表示为10¹² 和 10¹³就可以一眼看出后者比较大。

其实，现代我们用计算机来解决人类难以处理的大规模问题，我们绞尽脑汁地思考如何在短时间内解决大规模问题，“要解决大问题，就将它分解为多个小“单元”，如果小“单元”还是很大，那就继续分解成更小的“单元”，直到问题最终解决”，这种方法至今通用，比如在编写大程序的时候，一般会分解成多个小程序（模块）来开发。

这就是问题分解法。

逻辑——真与假的二元世界

我的总结与思考

噢！原来是这样啊……

我数学不好的本质是什么呢？可能是因为我的数学底子太差，我的数学大厦搭建的歪七扭八，很多基本的概念都理不清楚，说不明白，也不知所以然，对我而言，很多的公理，真的只是一些文字的堆积而已，我从未在老师讲过之后，去探索一下人类探寻这些如此直白的简单的公理花费了多少精力，又有多少故事在其中，这一定是很有趣的，书上的那些数学大拿们，在我的脑中也不会如此的没有生机了。

而本书在开篇就给我带来了这样一种感觉——“当我看到讲指数的时候，我心里想，讲的也太基础了吧，这谁不会啊，但是就是这样一个我们再熟悉不过的概念，当我读过之后，我也仍感觉：噢！原来是这样啊……”。 它会让我一次又一次的感觉，原来我从前对这个这么直白的概念的了解始终差一层，这样很多个直白的概念，差了一层之后，偏差之千里了，数学怎么能学好呢？

祝秋安

未完待续。。。