机器学习（四）一元线性回归

线性回归

一元线性回归（单特征）

$h_\theta(x) = \theta_0+\theta_1x$

这个方程对于的图像是一条直线，称为回归线。其中 $\theta_1$ 为回归线的斜率， $\theta_0$ 为回归线的截距

代价函数（损失函数）

最小二乘法计算误差

$J(\theta_0,\theta_1) = 1/2m\sum_{i=1}^{m} {(y^i-h_\theta(x^i))^2}$

$y$ 为真实值，预测值为 $h_\theta(x)$ 误差平方为 $(y-h_\theta(x))^2$

2.寻找合适的参数，使得误差平方和最小。

3.代码实现

#最小二乘法  b为截距 k为斜率
def compute_error(b, k, x_data, y_data):
    totalError = 0
    for i in range(0,len(x_data)):
        totalError += (y_data[i] - (k * x_data[i] + b)) ** 2
    return totalError / float(len(x_data)) / 2.0

相关系数

衡量线性相关性的强弱
决定系数

用来描述非线性或者两个及两个以上自变量的相关关系强弱

梯度下降法求解

原理：不断改变 $\theta_0,\theta_1$ 直到 $J(\theta_0,\theta_1)$ 到达一个全局最小值，或者局部最小值
求法

$\theta_j: = \theta_j-\alpha\frac {\partial} {\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1)$

$(for j = 1 and j = 0)$

其中偏导部分的求法：

$\frac {\partial} {\partial\theta_j}J(\theta_0,\theta_1)=$

$j = 0: \frac {\partial} {\partial\theta_0}J(\theta_0,\theta_1)=\frac {1} {m}\sum_{i=1}^{m} {(h_\theta(x^i)-y^i)}$

$j = 1: \frac {\partial} {\partial\theta_1}J(\theta_0,\theta_1)=\frac {1} {m}\sum_{i=1}^{m} {(h_\theta(x^i)-y^i).x^i}$

实现代码

# learning rate
lr = 0.0001
#截距
b = 0
#斜率
k = 0
#最大迭代次数
epochs = 50
#梯度下降法求 b 和 k
def gradient_descent_runner(x_data, y_data, b, k, lr, epochs):
    # 计算总数据量
    m = float(len(x_data))
    # 循环epochs次
    for i in range(epochs):
        b_grad = 0
        k_grad = 0
        # 计算梯度的总和再求平均
        for j in range(0, len(x_data)):
            b_grad += (1/m) * (((k * x_data[j]) + b) - y_data[j])
            k_grad += (1/m) * x_data[j] * (((k * x_data[j]) + b) - y_data[j])
        # 更新b和k
        b = b - (lr * b_grad)
        k = k - (lr * k_grad)
        # 每迭代5次，输出一次图像
        if i % 5==0:
            print("epochs:",i)
            plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
            plt.plot(x_data, k*x_data + b, 'r')
            plt.show()
    return b, k

利用sklearn库求解

利用 sklearn库中的 LinearRegression（线性回归）函数

from sklearn.linear_model import LinearRegression#导入线性回归函数
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建并拟合模型
model = LinearRegression()
model.fit(x_data, y_data)
# 画图
plt.plot(x_data, y_data, 'b.')
plt.plot(x_data, model.predict(x_data), 'r')
plt.show()