JZOJ 6309. 完全背包（矩阵max）

JZOJ 6309. 完全背包

题目

Description

Input

Output

Sample Input

Sample 1:
2 15
3 2
5 3

Sample 2:
3 70
71 100
69 1
1 2

Sample Output

Sample 1:
10

Sample 2:
140

Data Constraint

题解

• 乍一看，这不就是非常裸的完全背包吗？？？
• 再看看范围，背包容量极大，但是，物品的代价却很小。
• 如果直接打最裸的完全背包，时间复杂度是 $O(nm)$，能得到 $20$分；
• 如果对于代价相同的，只用收益最大的一个转移，时间复杂度是 $O(Max_{a_i}m）$，能得到 $60$分；
• 看到这么大的 $m$，不难想到矩阵。
• 设初始一维矩阵 $v[i](i\in [0,100])$表示花费 $i$的代价最大能有多少收益（可以选多个，如同容量为 $i$的完全背包），
• 不难发现，有了这个就可以用两个 $i\in[0-100]$得到 $i\in[100,200]$，用两个 $i\in [100,200]$得到 $i\in [300,400]$……以此类推。
• 那么自然想到矩阵快速幂，因为每次可以得出 $100$个的答案，所以快速幂的指数设为 $\lfloor\frac{m}{100}\rfloor+1$，
• 每次先用当前的矩阵 $f$与自己相加取 $max$，然后用 $v$更新一遍 $f$，
• 如果指数为奇数，再用 $f$与 $v$相加得到新的 $f$，
• 最后的答案即为 $f[m\mod 100]$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll v[110],f[110],c[110];
void ksm(ll x)
{
	int i,j;
	if(x==1) 
	{
		for(i=0;i<=100;i++) f[i]=v[i];
		return;
	}
	ksm(x/2);
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(i=0;i<=100;i++)
		for(j=0;j<=100;j++)
			if(i+100-j>=0&&i+100-j<=100) c[i]=max(c[i],f[j]+f[i+100-j]);
	for(i=0;i<=100;i++)
		for(j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],c[j]+v[i-j]);
	for(i=0;i<=100;i++) f[i]=c[i];
	if(x%2)
	{
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(i=0;i<=100;i++)
			for(j=0;j<=100;j++)
				if(i+100-j>=0&&i+100-j<=100) c[i]=max(c[i],f[j]+v[i+100-j]);
		for(i=0;i<=100;i++)
			for(j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],c[j]+v[i-j]);
		for(i=0;i<=100;i++) f[i]=c[i];
	}
}
int main()
{
	int n,i,j,x,y;ll m;
	scanf("%d%lld",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(y>v[x]) v[x]=y;
	}
	for(i=1;i<=100;i++) 
		for(j=1;j<i;j++) v[i]=max(v[i],v[j]+v[i-j]);
	ksm(m/100+1);
	printf("%lld",f[m%100]);
	return 0;
}