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题意
在一个 的矩阵里,每个格子上都有一个机器人。求每个机器人都走 步后每个格子上都还有机器人的方案(每个格子上都有机器人)。
思路
我们可以设一个矩阵
为方案数,其中
代表从
点走到
点的方案数。
由于矩阵乘法是这样的:
这样相当枚举了一个中间点
,所以每乘一次相当于多走一步的方案数,根据乘法原理,这样子可以求出从
经过
点到
的方案数。
乘
次我们就可以得出这个方案数的矩阵,然后
判断每个机器人在走之后站的位置,累加答案。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
const ll MOD = 1e9 + 7;
struct matrix{
ll a[10][10];
}f;
ll N, ans;
ll q[10];
matrix operator *(matrix &a, matrix &b) {
matrix c;
memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
for (ll i = 1; i <= 9; i++)
for (ll j = 1; j <= 9; j++)
for (ll k = 1; k <= 9; k++)
c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % MOD;
return c;
}
void fastPower(ll index) {
for (ll i = 1; i <= 9; i++)
f.a[i][i] = 1;
f.a[1][2] = f.a[1][4] = 1;
f.a[2][1] = f.a[2][3] = f.a[2][5] = 1;
f.a[3][2] = f.a[3][6] = 1;
f.a[4][1] = f.a[4][5] = f.a[4][7] = 1;
f.a[5][2] = f.a[5][4] = f.a[5][6] = f.a[5][8] = 1;
f.a[6][3] = f.a[6][5] = f.a[6][9] = 1;
f.a[7][4] = f.a[7][8] = 1;
f.a[8][5] = f.a[8][7] = f.a[8][9] = 1;
f.a[9][6] = f.a[9][8] = 1;
matrix result = f;
for (index--; index; index >>= 1) {
if (index & 1) result = result * f;
f = f * f;
}
f = result;
}
int main() {
scanf("%lld", &N);
fastPower(N);
for (ll i = 1; i <= 9; i++) q[i] = i;
do {
ll s = 1;
for (ll i = 1; i <= 9; i++)
s = (s * f.a[i][q[i]]) % MOD;
ans = (ans + s) % MOD;
} while (std::next_permutation(q + 1, q + 10));
printf("%lld", ans);
}