微积分（六）——一元函数微分学

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

这一章的特点是出题点较多且杂，其实考察的知识就是大纲上的那些。或者说出题的角度灵活比较合适。
除了掌握大纲中的要求，还要多做练习题找到题中经常出现的坑，大都是对定义的精确考察，我把遇到的都记录在这里。

(一)一元函数微分学基础

这一部分只会讨论什么是导数与微分，以及它们的计算。也是一元函数微分学最基础的部分。

1）讨论导数与微分的概念

给出函数判断导数是否存在：

• 利用导数的定义判断在某一点导数是否存在，注意可导必定连续。
• 如果函数是分段函数，要保证左右导数都存在且相等才存在导数。
• 如果函数是绝对值函数，也要讨论左右导数是否相等，有时需要利用连续或极限的保号性。另外绝对值函数导数存在的常用条件为绝对值函数的导数为0.
• 如果是由极限式表示的函数，应先求出此极限，得到 $f(x)$的分段表达式，再讨论 $f(x)$的可导性。

给出函数及其性质判断其它函数的可导性：

• 设有函数 $f(x)$在 $x=0$处存在二阶导数，那么在 $x=0$的某邻域内，当 $x\not=0$时， $f^{'}(x)$存在, 但 $f^{''}(x)$不一定存在。
• 函数的和式存在导数，不能证明分式的导数都存在，对于导数的定义也是如此。

给出函数及性质求待定参数

利用导数定义及题中条件即可。

2）导数与微分的计算

可能出现的导数形式：

1. 基本初等函数的导数及其复合（公式记牢）
2. 变限积分（求导公式、变量代换）
3. 隐函数求导（直接求导）
4. 反函数求导（ $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$,注意对谁求导，链式法则）
5. 参数式函数求导（链式法则）
6. 求解高阶导数（链式法则）
7. 求函数的n阶导数（泰勒公式、常用n阶导数公式、级数 ）

(二)导数的应用

当充分理解什么是导数后，我们重新回到函数部分，思考导数在函数的计算和性质中可以有什么应用。
所以标题为导数的应用，也可以称为函数的性质。

导数在大纲中有以下应用：
极值、最值、单调性、凹凸性、拐点、驻点、渐进线、曲率、曲率半径、曲率圆、画出函数草图。

其中，拐点与驻点是通过导数定义的属性。

极值、单调性、凹凸性、曲率、曲率半径、曲率圆是本来有自己的定义，但通常需要用导数来计算和确定的属性。

最值和渐近线是间接和导数有关系的属性。

1）通过导数定义的属性

• 驻点：连续曲线 $y = f(x)$上 $f^{'}(x) = 0$的点。与驻点附近 $f^{'}(x)$的值没有关系。
• 拐点：连续曲线 $y=f(x)$上凹、凸弧的分界点。注意： $f^{''}(x) = 0$, 左右邻域内 $f^{''}(x)$异号只是拐点的充分条件。如果在 $x=x_0$处函数有定义，左右邻域内 $f^{''}(x)$异号,但 $f^{''}(x_0)$不存在， $x = x_0$仍为驻点。

2）通过导数计算的属性

• 单调性：判断函数单调性，首先便是导数。之后通过讨论或者变形判断区间上的导数的正负性。
• 极值：最准确确定极值的方法是通过极值的定义。导数是提供了判断可导点处极值的必要条件( $f^{'}(x) = 0$)和两个充分条件(① $f^{'}(x) = 0$, 左右邻域内 $f^{'}(x)$异号 ② $f^{'}(x) = 0$, $f^{''}(x) = a(a \not= 0)$)
• 凹凸性：最准确确定凹凸性的方法是通过凹凸性的定义。导数是提供了判断可导点处凹凸性的必要条件( $f^{''}(x) = 0$)和两个充分条件(① $f^{''}(x) = 0$, 左右邻域内 $f^{''}(x)$异号 ② $f^{''}(x) = 0$, $f^{'''}(x) = a(a \not= 0)$)
• 曲率：曲率部分只需要关注三个公式。曲率公式： $k = \frac{|y^{''}|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}$, 曲率半径： $R = \frac{1}{k}$，曲线上点 $M(x,y)$处的曲率中心的坐标 $(α，β)$为 $α=x-\frac{y^{'}(1+y^{'2})}{y^{''}}$， $β=y+\frac{1+y^{'2}}{y^{''}}$

3）与导数间接相关的属性

• 最值：从所有驻点、不可导点、闭区间两端点中寻找最大值与最小值。
• 渐进线：从 $\lim\limits_{x\to x_{0}}$ $=\infty$判断铅直渐近线，从 $\lim\limits_{x\to+\infty} =a$或 $\lim\limits_{x\to-\infty} =a$判断水平渐近线，通过 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = a$和 $\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-ax)=b$来判断斜渐近线 $y=ax+b$是否存在。

4）函数的应用题（多为最值问题）

若实际问题必定有最值，且由问题建立的表达式只有一个驻点，那么该驻点便是极值点。该类应用题常于解析几何或位置参数的函数联系，需要建立目标函数或讨论参数。

(三)中值定理

这一部分是一元函数微分学的难点。

导数是刻画函数在一点处变化里的概念，它反映的是函数在一点邻近的局部变化性态。

但在理论研究和实际应用中，常常需要知道函数在某一区间上的整体变化情况和它在区间内某些点处的局部变化性态之间的关系。

有关中值定理的题型解题方法可能是不唯一的，可以用拉格朗日中值解，说不定也可以用罗尔定理解。

关于函数某一区间变化情况或某些点处的局部变化性态问题求解方式有以下几种：

1. 利用导数讨论单调性
2. 最值存在极值定理结合费马定理
3. 介值定理
4. 积分中值定理
5. 罗尔定理
6. 拉格朗日中值定理
7. 拉格朗日余项泰勒公式
8. 柯西中值定理

以及几种解题技巧：

1. 积分法
2. 微分方程法
3. 函数与导数存在零点个数的关系

下面我们根据问题的提问方式具体分析，中值定理的题型大概可分为以下几类：

1）不等式问题

这类问题放在第一类，是因为不等式问题求解方式众多。比如我们以前提到的利用条件极值解不等式问题，在这一章还可以利用导数用单调性解不等式问题，以及各种中值定理和泰勒公式求解。

a. 具体函数不等式问题

• 不管具体不等式有没有明显利用中值定理的特征，首先考虑使用中值定理，简单尝试后若发现利用条件不足以证明，换用导数求解。
• 在利用导数讨论单调性求解时，最坏的情况便是拆分多个区间具体讨论和层层求导，这时需要有耐心，考试的解题主体在这里的情况应该会很少发生，但也不能排除。
• 纯导数的题真的会考的，2011年数学一考过一次。

b. 抽象函数不等式问题

• 抽象函数不等式问题不考虑使用导数证明，
• 若题目中出现 $f^{''}(x)$的条件或需要证明的不等式中出现了 $f^{''}(x)$或者更高阶导数，考虑使用拉格朗日余项泰勒公式证明。
• 若题目中仅出现 $f(x)$和 $f^{'}(x)$，考虑使用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、极值最值证明。

2）零点问题

a. 可导具体函数的零点问题

• 一般构造函数，利用导数讨论单调性和边界点值、最值和极值、最后利用介值定理判断零点个数。
• 带有参数的具体函数，需要对参数进行讨论。

b. 证明存在 $f(ξ)=0$的零点问题

• 这类问题的特点是具体函数的导数过于复杂不容易判断以及抽象函数给出 $f(x)$,求解 $f(ξ)=0$的问题。因为题目中的条件和要求都和导数无关，若想利用中值定理，就要对函数求积分，对原函数 $F(x)$利用中值定理求解零点。即“积分法”。

c. 证明存在 $f^{'}(ξ）=0$的零点问题

• 这类问题一般解法是利用最值极值定理，好处是不管 $f^{'}(x)$是否连续，只要通过条件判断出最值不在端点处，区间内必定存在极值点，在极值点处 $f^{'}(ξ)=0$.
• 相应的，这类问题的一大坑便是想当然的认为导数连续，即使函数连续且处处可导，其导函数也不一定连续。而导函数不连续，便不能使用介值定理。

d. 双中值问题

• 双中值意思就是证明要求中出现ξ、η两个不确定的量。求解方式和单中值大同小异，注意两个中值之间的关系就好。

e. 复合函数 $ψ(x,f(x),f^{'}(x))$的零点

这类题型的特点是题目要求的证明涉及 $x,f(x)$,和 $f^{'}(x)$。比如根据题目条件证明： $(1+ξ)f^{'}(ξ)-f(ξ)=0$

• 如果单纯用 $f(x)$结合罗尔定理、拉格朗日中值定理或泰勒公式，一定是求不出的。因为要求中的ξ同时出现在x,f(x),f(x)的导数中。
• 使用拉格朗日余项泰勒公式时有个坑，余项中的ξ并不是常数，会随着 $x$和 $x_0$的变化而变化，带入不同的值一定要区分 $ξ_1$和 $ξ_2$。这类题型用这种错误的不区分的方法虽然也能凑出来，但是错误的，千万不能用。
• 这类题型的基本思路是“构造”。基本方法是微分方程法和柯西中值定理。
• 微分方程法就是构造出一个函数，其满足罗尔定理，通过罗尔定理求解。因为新构造的函数中，f(x)只是整个函数的一部分，新构造的函数为复合函数，所以罗尔定理才有可能正好是所要求的证明。
• 柯西中值定理本质上也是构造，需要构造一个新函数g(x)来满足柯西中值定理的条件。

f. 复合函数 $ψ(x,f(x),f^{'}(x),f^{''}(x))$的零点

• 涉及到 $f^{''}(x)$的时候，有两种处理方式，罗尔定理或拉格朗日中值定理使用两次或利用拉格朗日余项泰勒公式。对于函数f(x)，要证明存在 $f^{''}(ξ)=0$，需要有至少三个零点。
• 涉及到 $f^{'''}(x)$的时候，大概只有拉格朗日余项泰勒公式。

g. 存在某ξ满足某不等式

• 证明形式比如： $f^{'}(ξ)< a$
• 把存在某ξ放在零点问题中，是因为解题思路和零点问题非常相似。根据出现的函数或导数的阶数判断使用什么方法，最后判断一下ξ的范围，或者进行一下放缩来证明不等式。

3) 多说一句

涉及中值定理和不等式的问题灵活多样，列举这些不同的题型只是在做题的时候能更快找到思路。还有很多不在上述列举中的题目，这时就需要结合中值定理发挥想象力，求解出来。这也是为什么不等式和中值定理是难点和重点。