线段树入门（代码方面采用C++）---出自南昌理工学院ACM集训队
别问，问就是只会C++。。。
线段树概念
线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间（编号1~n）划分成一些单元区间（arr），每个单元区间对应线段树中的一个叶结点；
对于线段树中的每一个结点都代表了一条线段，每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。对于叶子节点，a=b，叶子结点表示对应区间(arr)内的存储数据；
线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。线段树的优点在于，可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩；
线段树应用
线段树的原理是，通过对子区间的修改和统计来实现对大区间的修改（因此线段树需要用到递归的的知识）。因此线段树的运用需要符合区间加法原则。例如求数字之和、GCD与最大值。否则无法通过子区间统计，例如求众数；
总而言之，只要能化成对一些连续点的修改和统计问题，基本可以用线段树来解决；
友情提示：先学好递归吧
在此推荐一位B站UP主的线段树入门视频------->B站up主（正月点灯笼）
博主也是看着他的视频一步一步学习线段树；[](￣▽￣)*
图例
线段树的每一个结点都是一个区间，代表两子节点数值相加，在程序中选择用数组存储；
由此上树arr数组与tree（线段树）数组如下：
在此，可能就有小伙伴疑惑，数组开多大才够用？
对比上面两张图我们可以发现，树中一些不存在的点，在tree数组中我们用0来存；
因此上图tree数组的大小就是一颗高度为4的满二叉树的大小----->2^4-1
另外，根据dalao们的说法，arr长度为N时，tree开到4*N是完全够用的；
线段树各类操作
1.建树
ll arr[100005];
ll tree[400020];
void build_tree(int node,int start,int end){//初始值为0 1 n
if(start==end){//相等是即为叶子节点，将arr数组中end或start位置的值赋入即可
tree[node]=arr[end];
}
else{
int mid=(start+end)/2;//中点
int left_node=2*node;//左子树
int right_node=2*node+1;//右子树
build_tree(left_node,start,mid);//递归遍历左右子树
build_tree(right_node,mid+1,end);
tree[node]=tree[left_node]+tree[right_node];//父结点为左右两个子节点之和
}
}
2.修改特点区间的值
这里做的操作是将区间【L，R】内的值加上k
void update_tree(int node,int start,int end,int L,int R,ll k){
if(start==end&&end>=L&&end<=R){//start与end相等时将arr与tree数组内的值都加上k
arr[end]+=k;//递归的限定条件能够保证此时arr[end]必在[L,R]范围内，直接加上k
tree[node]+=k;
}
else{
int mid=(start+end)/2;
int left_node=2*node;
int right_node=2*node+1;
if(L<=mid) update_tree(left_node,start,mid,L,R,k);//遍历左右子树
if(R>mid) update_tree(right_node,mid+1,end,L,R,k);
tree[node]=tree[left_node]+tree[right_node];
}
}
上方代码块中，递归的条件（L<=mid时遍历左子树），（L>mid时遍历右子树）
对于每一次递归，L与R的值不变，因此用L与R的值与该次递归的mid值做比较，判断需要往哪个子树进行递归
3.线段树经典操作（求和）
long long add_tree(int node,int start,int end,int L,int R){
if(R<start||L>end){//表示所求区间L与R不在当前区间中，返回0
return 0;
}
else if(L<=start&&end<=R){//表示当前区间全部包含在[L,R]中返回区间结点值
return tree[node];
}
else if(start==end){
return tree[node];
}
else{
int mid=(start+end)/2;//这三行操作都见不少次了，主要是为了方便理解
int left_node=2*node;
int right_node=2*node+1;
int sum_left=add_tree(left_node,start,mid,L,R);//递归遍历
int sum_right=add_tree(right_node,mid+1,end,L,R);
return sum_left+sum_right;//因为函数返回值为long long ，返回值即为左右两子树之和
}
}
文字解释比较粗糙，如果难以理解的话，还请戳上方的视频链接，dalao的视频中也有关于这三种操作的详解；
例题
题出luoguP3372（（模板题）线段树1）
看到这个题目，大家就会发现，题目中要求的操作与上方代码块中给出的各个操作相同（连返回值都是long long）；
然后咱们开开心心拿着博文中代码块的函数去写题，然后开开心心地TLE(;´༎ຶД༎ຶ`)
博文上方给出的线段树各类操作都比较基础，而题目中的数据比较大，此时，就需要用到一个神奇的东西——>懒标记
懒标记
懒标记的优点就是：省时！省时！省时！
懒标记的精髓就是做标记和下传操作，由于我们要做的操作是区间相加，就在区间修改时若被覆盖，对当前结点做懒标记，当后续操作需要用到该结点的左右子结点时，将懒标记下传即可；
接下来看看具体操作：
首先存储方面采用结构体数组
typedef long long ll;
ll a[100005];
struct lq{
int l,r;//表示该节点的区间范围
ll num;//表示节点数据
ll add;//懒标记
}t[400010];
懒标记：
void spread(int node){
int l=node*2;
int r=node*2+1;
if(t[node].add){//当懒标记不为0的时候，将懒标记下传
t[l].num+=t[node].add*(t[l].r-t[l].l+1);//修改左右结点的值
t[r].num+=t[node].add*(t[r].r-t[r].l+1);
t[l].add+=t[node].add;//懒标记下传
t[r].add+=t[node].add;
t[node].add=0;//下传后该节点懒标记清零
}
建树：
void build_tree(int node,int start,int end){//和上面的建树差不多，只是加了一个结构体内l与r的赋值
t[node].l=start;
t[node].r=end;
if(start==end){
t[node].num=a[end];
return ;
}
int mid=(start+end)/2;
int left_node=node*2;
int right_node=node*2+1;
build_tree(left_node,start,mid);
build_tree(right_node,mid+1,end);
t[node].num=t[left_node].num+t[right_node].num;
}
修改区间值：
void update_tree(int node,int x,int y,int z){
if(x<=t[node].l && y>=t[node].r){//当区间覆盖时，即该函数区间[l,r]在[x,y]内
t[node].num+=(ll)z*(t[node].r-t[node].l+1);//该节点加(t[node].r-t[node].l+1)个z
t[node].add+=z;//对结点进行懒标记
return ;
}
spread(node);//否则，需要用到该节点的子节点，将懒标记下传
int left_node=node*2;//后面的就都一样了
int right_node=node*2+1;
int mid=(t[node].l+t[node].r)/2;
if(x<=mid) update_tree(left_node,x,y,z);
if(y>mid) update_tree(right_node,x,y,z);
t[node].num=t[left_node].num+t[right_node].num;
}
求区间和：
ll add_tree(int node,int x,int y){
if(x<=t[node].l && y>=t[node].r) {//同理，覆盖的时候直接返回该结点值，即该区间数值总和
return t[node].num;
}
spread(node);//否则，将懒标记下传
int mid=(t[node].l+t[node].r)/2;//接下来就都一样
int left_node=node*2;
int right_node=node*2+1;
ll sum=0;
if(x<=mid) sum+=add_tree(left_node,x,y);
if(y>mid) sum+=add_tree(right_node,x,y);
return sum;
}
对比一下加了懒标记前后的测试点信息
加入前：
加入后：
最后附上例题AC代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#include<string>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline int read(){
int x=0;
char c=getchar();
bool flag=0;
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')
flag=1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
c=getchar();
}
if(flag)
x=-x;
return x;
}
ll a[100005];
struct lq{
int l,r;
ll num,add;
}t[400010];
void spread(int node){
int l=node*2;
int r=node*2+1;
if(t[node].add){
t[l].num+=t[node].add*(t[l].r-t[l].l+1);
t[r].num+=t[node].add*(t[r].r-t[r].l+1);
t[l].add+=t[node].add;
t[r].add+=t[node].add;
t[node].add=0;
}
}
void update_tree(int node,int x,int y,int z){
if(x<=t[node].l && y>=t[node].r){
t[node].num+=(ll)z*(t[node].r-t[node].l+1);
t[node].add+=z;
return ;
}
spread(node);
int left_node=node*2;
int right_node=node*2+1;
int mid=(t[node].l+t[node].r)/2;
if(x<=mid) update_tree(left_node,x,y,z);
if(y>mid) update_tree(right_node,x,y,z);
t[node].num=t[left_node].num+t[right_node].num;
}
ll add_tree(int node,int x,int y){
if(x<=t[node].l && y>=t[node].r) {
return t[node].num;
}
spread(node);
int mid=(t[node].l+t[node].r)/2;
int left_node=node*2;
int right_node=node*2+1;
ll sum=0;
if(x<=mid) sum+=add_tree(left_node,x,y);
if(y>mid) sum+=add_tree(right_node,x,y);
return sum;
}
void build_tree(int node,int start,int end){
t[node].l=start;
t[node].r=end;
if(start==end){
t[node].num=a[end];
return ;
}
int mid=(start+end)/2;
int left_node=node*2;
int right_node=node*2+1;
build_tree(left_node,start,mid);
build_tree(right_node,mid+1,end);
t[node].num=t[left_node].num+t[right_node].num;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=read();
}
build_tree(1,1,n);
int t;
int x,y,z;
while(m--){
scanf("%d",&t);
if(t==1){
scanf("%d%d",&x,&y);
z=read();
update_tree(1,x,y,z);
}
else if(t==2){
scanf("%d%d",&x,&y);
ll sum=add_tree(1,x,y);
printf("%lld\n",sum);
}
}
return 0;
}