线段树——入门

此博客参考了线段树从零开始。考虑读者已阅读参考博客。

存储sum用数组的长度

参考博客提出，用数组来存储各个节点（每个节点存储的是，该节点代表区间内数的总和）的sum，就不需要弄成，建立树节点的class，还为这个class提供左右孩子的方法之类的，直接用数组来代替原二叉树结构。
但参考博客提出，sum数组的长度为存数数组的长度的4倍，其实不对，只要得到树的层数h，再得到h层的完全二叉树的最大节点数，再加一个1，就是sum数组的长度。

#利用递归，深度遍历到第一个终点，这个叶子节点必定在二叉树的最后一层
#（通过画二叉树可以发现上述成立）
#便得到了二叉树的层数
#因为是二叉树，虽然不是完全二叉树，但用完全二叉树来存储就可以使用
#性质：节点索引从1开始，i节点的左孩子为2i，右孩子为2i+1
#所以，只要获得该二叉树的层数，再以完全二叉树的最大节点数作为数组的长度
def get_ceng(l,r):
    if(l==r):
        return 1;
    m=(l+r)//2
    return get_ceng(l,m)+1

def get_length(l,r):
    ceng = get_ceng(l,r)
    print(ceng)
    length = 2**ceng-1#n层的完全二叉树，节点数最大为2的n次方-1
    length = length+1#因为索引是从1开始用的，0索引没有用，但必须得浪费，所以加1
    return length

print(get_length(0,12))

运行结果：。5代表二叉树层数，32代表存储数组需要的长度。参考博客是传入参数是1,13.本文是0,12，但画出来二叉树结构是一样的，只是每个索引都减一。
总结：不管画出来的二叉树是啥样，是不是完全二叉树，都可以按照完全二叉树来存储，虽然会浪费掉一些空间，但就可以使用完全二叉树的良好性质：如果节点索引从1开始，那么i节点的左孩子为2i，右孩子为2i+1。
原文线段树结构：

本文线段树结构：

线段树——建树

#有两种索引，一是完全二叉树的节点索引，该索引从1开始，为了方便计算
#一种是原数组的索引，该索引从0开始，从1开始都可以，本文从0
num=[1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1]

length = get_length(1,13)
sum_list=[0]*length

def pushup(rt):
    sum_list[rt]=sum_list[2*rt]+sum_list[2*rt+1]

def build(l,r,rt):#l为区间左端点，r为区间右端点，rt为完全二叉树索引
    #l,r也是num的索引；第一次调用时，rt为1
    if(l==r):
        sum_list[rt]=num[l]
        return
    m = (l+r)//2#这里向下取整
    build(l,m,2*rt)
    build(m+1,r,2*rt+1)
    pushup(rt)

build(0,len(num)-1,1)

print(sum_list)

运行结果：


在二叉树索引中，考虑[0,12]是索引1，[0,6]是索引2，[7,12]是索引3，以此类推。发现sum_list的打印结果与上图是一一对应的。注意后面没有使用到的完全二叉树节点，就全为0，而这些节点都没有用到。
分析：sum_list的0索引不用，第一个数必为0.

线段树——修改

def update(target,add,l,r,rt):#target为目标，add为加的值
    if(l==r):
        sum_list[rt]=sum_list[rt]+add
        return
    m = (l+r)//2
    if(target<=m):
        update(target,add,l,m,2*rt)
    else:
        update(target,add,m+1,r,2*rt+1)
    pushup(rt)
update(5,7,0,len(num)-1,1)
print(sum_list)

运行结果：


分析：第一次调用时，update函数的后三个参数与build函数一样。程序想让num[5]+=7，但是实际上只需要修改，[5],[4,5],[4,6],[0,6],[0,12]这五个区间的sum就行，这里也体现出只需要log n的复杂度。

线段树——查询sum

def quary(L,R,l,r,rt):
    if( (L<=l) and (r<=R)):
        return sum_list[rt]
    m = (l+r)//2
    count = 0
    #分为两个区间[l,m][m+1,r]
    if(L<=m):
        count+=quary(L,R,l,m,2*rt)
    if(R>=m+1):
        count+=quary(L,R,m+1,r,2*rt+1)
    return count

print(quary(1,11,0,len(num)-1,1))

运行结果：
分析：程序想统计[1,11]区间内的总和，实际上加和[1],[2,3],[4,6],[7,9],[10,11]，也就是36=2+7+13+7+7，计算五个数就可以算出[1,11]区间内的总和。