【学习计算机组成原理】浮点数的乘除运算

现实中的科学计数乘除

$计算1.234\times10^{2}+5.678\times10^{1}=?$

• $1.234\times5.678=7.006652$
• $2+1=3$
• $7.006652\times10^{3}=7.01\times10^{3}$

我们总结下来就是尾数相乘除，指数相加减。

机器中的过程

求阶

由于阶码是用移码表示的，所以求阶的过程就是求移码的和或差。
移码运算参考
使用以下公式进行阶码的加减，这里的偏置常数是（2^n-1-1）

• $[A+B]_{移}=[A]_{移}+[B]_{移}-(2^{n-1}-1)$
• $[A-B]_{移}=[A]_{移}-[B]_{移}+(2^{n-1}-1)$

示例1：(-1)+(-2)

将阶码用移码表示：（加偏置常数127）
$(-1)_{10}+(127)_{10}=(126)_{移}=(0111 1110)_{2}$

$(-2)_{10}+(127)_{10}=(125)_{移}=(0111 1101)_{2}$

$(127)_{10}=(0111 1111)_{补}$

$(-127)_{10}=(1000 0001)_{补}$

求阶：（阶码相加，减127）
$0111 1110+0111 1101+1000 0001=0111 1100$
结果：
$[0111 1100]_{移}=124$
$124-127=-3$（减去偏置常数）

示例2：(-1)-(-2)

因为是减-2，所以求-2的变补码：
$(0111 1101)_{变补}=1000 0011$

求阶：（阶码相减，加127）
$0111 1110+1000 0011+0111 1111=1000 0000$
结果：
$[10000000]_{移}=128$
$128-127=1$（减去偏置常数）

尾数乘除

由于尾数是用原码表示的，所以需要知道原码的乘除运算：
原码乘参考
原码除参考

结果规格化（同浮点数加减）

1. 当尾数高位为0需左归：每左移一次，阶码减一，直到MSB（最高有效位）为1。（小数点右移，指数变小）
2. 当尾数最高位有进位，需右归：每右移一次，阶码加一，直到MSB为1。
3. 每次阶码变化，都需要判断阶码是否上溢或下溢。阶码上溢时异常处理，下溢时结果为0。

上下溢即尾数和阶码的特殊情况

阶码溢出判断

上溢表示阶码值过大，下溢表示阶码值过小。

• 左规时（尾数左移，阶码减1）
  先判断阶码是否全0，若是，则阶码下溢。否则，阶码减1后判断是否全为0，若是则阶码下溢。
• 右规时（尾数右移，阶码加1）
  先判断阶码是否全1，若是，则阶码上溢。否则，阶码加1后判断是否全为1，若是则阶码上溢。

4种特殊情况的溢出
设Ex，Ey是两位阶码，Eb是Ex与Ey运算的结果：

• Eb全为1则上溢，Eb全为0则下溢。
• Eb=Ex+Ey
  • 若Ex，Ey最高位都是1，且Eb的最高位是0，则阶码上溢。（正数加正数是负数）
  • 若Ex，Ey最高位都是0，且Eb的最高位是1，则阶码下溢。（负数加负数是正数）
• Eb=Ex-Ey
  • 若Ex最高位是1，Ey最高位是0，且Eb的最高位是0，则阶码上溢。（正数减负数是负数）
  • 若Ex最高位是0，Ey最高位是1，且Eb的最高位是1，则阶码下溢。（负数减正数是正数）

舍入（同浮点数加减）

浮点数加减的舍入
尾数代表的实际值是0，则将阶码置0。（因为浮点数表示0的格式原因）