CSP赛前集训 【长寿花】

长寿花

题目描述：（暂不提供）

这道题考场没来得及看。

很显然这是一道 $DP$题。
首先我们设：
$g_{i,j}$为 $i$个位置， $j$种装饰，相邻两两不同装饰种类的方案数。
只考虑 $1-j$种装饰。
$g_{i,j}=g_{i-1,j}*(j-1) +g_{i-1,j-1}*j$。
对于第一项，前面已经有 $j$种装饰，那就可以任意填 $j-1$种装饰。
对于第二项，前面有 $j-1$种装饰，你并不知道前面 $j-1$种装饰包含 $1-j$中的哪一种，所以乘上 $j$。

然后设 $f_{i,j}$表示第 $i$行选 $j$种装饰的方案
于是枚举 $k$来被转移。
当 $k$不等于 $j$的时候： $f_{i,j}*[C_{m}^k*g_{a_{i},k}] -> f_{i+1,k}$
当 $k$等于 $j$的时候： $f_{i,j}*[(C_{m}^k-1)*g_{a_{i},k}]->f_{i+1,k}$

然后整合一下：
$f_{i,j}=[C_{m}^k*g_{a_{i},j}*\Sigma_{k}f_{i-1,k}]-f_{i-1,j}*g_{a_{i},j}$
然后注意到 $\Sigma_{k}f_{i-1,k}$是可以上一次算好的。所以 $f_{i,j}$的转移就是 $O(1)$的。

然后注意下组合数要用分解质因数来算。

经过 $ZJJ$的辅导，总算是调出来了。
时限给了5 $s$，然后我跑了一秒半。
吸了氧以后就跑进1 $s$了。

%:pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 5010;
const int M = 1000010;

inline void read(int &x)
{
    char ch = getchar(); x = 0;
    for(;ch < '0' || ch > '9';) ch = getchar();
    for(;ch >= '0' && ch <= '9';) x = x * 10 + (ch ^ '0'), ch = getchar();
}

int cnt = 0,p[M],vis[M],c[M],t[M];
int tot = 0,used[M],f[2][N],g[N][N];
int n,m,mod,a[M],pre,ans;

inline void Get_p()
{
    for(int i = 2;i < M; ++ i)
    {
        if(!vis[i]) p[++cnt] = i;
        for(int j = 1;j <= cnt && i * p[j] < M; ++ j)
        {
            vis[i * p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}

inline int f_pow(int a,int x)
{
    int ret = 1;
    for(;x;x >>= 1) (x & 1) && (ret = 1ll * ret * a % mod), a = 1ll * a * a % mod;
    return ret;
}

inline void inc(int x)
{
    for(int i = 1;i <= cnt && p[i] * p[i] <= x; ++ i)
        if(x % p[i] == 0)
        {
            if(!vis[p[i]]) used[++tot] = p[i],vis[p[i]] = 1;
            for(;!(x % p[i]);x /= p[i]) ++t[p[i]];
        }
    if(x > 1) 
    {
    	if(!vis[x]) used[++tot] = x,vis[x] = 1;
    	++t[x];
	}
}

inline void dec(int x)
{
    for(int i = 1;i <= cnt && p[i] * p[i] <= x; ++ i)
        if(x % p[i] == 0)
            for(;!(x % p[i]);x /= p[i]) --t[p[i]];
    if(x > 1) --t[x];
}

inline int calc(int x,int y)
{
    int ret = 1; 
	inc(x), dec(y);
    for(int i = 1;i <= tot; ++ i) ret = ret * 1ll * f_pow(used[i],t[used[i]]) % mod;
    return ret;
}

int main()
{
    freopen("kalanchoe.in","r",stdin);
    freopen("kalanchoe.out","w",stdout);

    read(n), read(m), read(mod);
    for(int i = 1;i <= n; ++ i) read(a[i]);

    Get_p(); g[1][1] = 1; pre = 1;
    memset(c,0,sizeof c),
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int i = 2;i < N; ++ i)
        for(int j = 1;j <= i; ++ j) 
            g[i][j] = (1ll * g[i - 1][j] * (j - 1) + 1ll * g[i - 1][j - 1] * j) % mod;
    for(int i = 1;i <= m && i <= 5000; ++ i) c[i] = calc(m - i + 1,i);
    
    for(int i = 1;i <= n; ++ i)
    {
        for(int j = 1;j <= a[i] && j <= m; ++ j)
            f[i & 1][j] = (1ll * c[j] * g[a[i]][j] % mod * pre - 1ll * f[i & 1 ^ 1][j] * g[a[i]][j]) % mod;   
        pre = 0; for(int j = 1;j <= a[i]; ++ j) pre = (pre + f[i & 1][j]) % mod;
		if(i > 1) for(int j = a[i] + 1;j <= a[i - 2]; ++ j) f[i & 1][j] = 0;
		//这里清零是因为可能会因为a的值不同而造成的虚假贡献
    }

    for(int i = 1;i <= m && i <= a[n]; ++ i) ans = (ans + f[n & 1][i]) % mod;
    printf("%d",(ans + mod) % mod);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

当然空间也要注意， $f$数组是可以滚动的。