J . Wood Processing （斜率优化dp）2019暑假牛客多校第十场

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/890/J

题目大意：

给一群木头，有长和宽，然后一群木头拼起来就是以最低的那个为标准，高于他的全部剪掉，问拼出k块最少浪费多少木头。

题目思路：

分成k段，每段取最小的价值我们肯定要对木头从低到高进行排序。

分成k段每段最低的也就是最靠前的那个，全部的木头都要砍成这么低。

我们可以写一个n*k的dp转移方程。

dp[i][j] 表示前i块木头分成 j 段最小的浪费值。

$dp[i][j] = min\left \{ dp[j][k-1]+(sum_s[i]-sum[j])-(sum_w[i]-sum_w[j])*h[j+1] \right \}$

sum_s[i]：排好序后，前 i 块木头的面积和。

sum_w[i]: 排好序后，前 i 块木头的宽度和。

发现转移方程是n*n*k的需要优化，会发现这个题把方程拆开并移项之后，成为下式。

$dp[j][k-1]-sum_s[j]+sum_w[j]*h[j+1]=sum_w[i]*h[j+1]+(dp[i][k]-sum_s[i])$

sum_w[i] : 作为斜率，满足单调不减性。

sum[j][k-1]-sum_s[j]+sum_w[j]*h[j+1] : 作为函数值。

h[j+1]：作自变量x

(dp[i][k]-sum_s[i]) : 作截距

注意转移的时候dp【i】【1】要自己初始化，不可以直接转移因为dp【i】【0】是非法状态。

函数值显然具有大于等于0的性质，所以可以使用斜率dp优化处理，从而实现O（1）转移。

最后复杂度O（n*k）

极限数据可以发现在斜率交叉相乘的时候会爆ll 所以需要__int128

#include<bits/stdc++.h>
#define ll __int128     
using namespace std;
const ll MAXN = 5005;
ll dp[MAXN][2005];
ll sum_s[MAXN],sum_w[MAXN];
ll que[MAXN];
struct node
{
    long long w,h;
}C[MAXN];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.h<b.h;
}
ll gets(ll i,ll j,ll k)
{
    return (dp[i][k]-sum_s[i]+sum_w[i]*C[i+1].h)-(dp[j][k]-sum_s[j]+sum_w[j]*C[j+1].h);
}
ll getm(ll i,ll j)
{
    return C[i+1].h-C[j+1].h;
}
inline void out(ll x){
    if(x>9) out(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(ll i=1;i<=n;i++){
         cin>>C[i].w>>C[i].h;
    }
    sort(C+1,C+1+n,cmp);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        sum_s[i] = sum_s[i-1]+C[i].w*C[i].h;
        sum_w[i] = sum_w[i-1]+C[i].w;
    }
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        dp[i][1]=sum_s[i]-sum_w[i]*C[1].h;
        //cout<<dp[i][1]<<endl;
    }
    for(ll j=2;j<=k;j++){
        ll L = 0,R = -1;
        que[++R] = j-1;
        for(ll i=j;i<=n;i++){
            while(L < R && gets(que[L+1],que[L],j-1) <= sum_w[i]*getm(que[L+1],que[L]) )L++;
            ll now = que[L];
            dp[i][j] = dp[now][j-1] + (sum_s[i]-sum_s[now])-(sum_w[i]-sum_w[now])*C[now+1].h;
            while(L < R && gets(que[R],que[R-1],j-1)*getm(i,que[R]) >= gets(i,que[R],j-1) * getm(que[R],que[R-1]) )R--;
            que[++R]=i;
        }
    }
    out(dp[n][k]);
    puts("");
    //cout<<dp[n][k]<<endl;
}