CF113D Museum（概率 + 高斯消元法）

Description

有 $n$ 个点 $m$ 条边的无重边连通图，初始两个人在点 $a$ 和 $b$。每一单位时间，假设两个人在点 $i$ 和 $j$ 那么有 $p_i$ 和 $p_j$ 的概率原地不动，有 $1 - p_i$ 和 $1 - p_j$ 的概率等概率移动到相邻的点。求两个人在每个点相遇的概率，只要相遇那么停止移动。

$1 \leq n \leq 22$。

Solution

令 $f_{i,j}$ 为两个人在 $i$ 和 $j$ 的概率， $f_{a,b} = 1$。那么每个点有一个人动，一个人不动，两个人一起动或都不动分类讨论一下。令 $d_i$ 为点 $i$ 的度数。转移为

$f_{i,j} = \\ f_{i,j} \times p_i p_j +\\ f_{i,k} \times p_i \sum_{j \to k} \frac{1 - p_k}{d_k} + \\ f_{k,j} \times p_j \times \sum_{i \to k} \frac{1 - p_k}{d_k} + \\ f_{k_1,k_2} \times \sum_{i \to k_1} \sum_{j \to k_2} \frac{1 - p_k}{d_{k_1}} \frac{1 - p_{k_2}}{d_{k_2}}$

那么有 $n^2$ 个未知数，用高斯消元法解方程复杂度为 $O(n^6)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
vector <int> G[N]; 
double f[N][N], p[N];
int n, m, a, b, d[N];
int get(int i, int j) {
	return (i - 1) * n + j;
}
void init() {
	f[get(a, b)][n * n + 1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			int x = get(i, j); f[x][x] = 1;
			if (i ^ j) f[x][x] -= p[i] * p[j];
			for (auto y : G[j]) if (y ^ i) f[x][get(i, y)] -= p[i] * (1.0 - p[y]) / d[y];
			for (auto y : G[i]) if (y ^ j) f[x][get(y, j)] -= p[j] * (1.0 - p[y]) / d[y];
			for (auto y1 : G[i]) for (auto y2 : G[j]) if (y1 ^ y2) f[x][get(y1, y2)] -= (1.0 - p[y1]) * (1.0 - p[y2]) / d[y1] / d[y2]; 
		} 
} 
void Gauss() {
	for (int i = 1; i <= n * n; i++) {
		int p = i;
		while (!f[p][i] && p <= n * n) p++;
		for (int j = 1; j <= n * n + 1; j++) swap(f[i][j], f[p][j]);
		double x = f[i][i]; 
		for (int j = 1; j <= n * n + 1; j++) f[i][j] /= x;
		for (int j = 1; j <= n * n; j++) 
			if (i != j) {
				x = f[j][i];
				for (int k = 1; k <= n * n + 1; k++) f[j][k] -= f[i][k] * x;
			}
	}
}
int main() {
	n = read(), m = read(), a = read(), b = read();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = read(), y = read();
		G[x].push_back(y), G[y].push_back(x);
		d[x]++, d[y]++;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf", &p[i]);
	init(); Gauss();
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lf ", f[get(i, i)][n * n + 1]);
	return 0;
}