【CF113D】Museum

Solution

　　额题意的话大概就是给一个无向图然后两个人给两个出发点，每个点每分钟有\(p[i]\)的概率停留，问这两个人在每个点相遇的概率是多少

　　如果说我们知道最后在哪里相遇，处理起来会比较方便。注意到\(n\)比较小，所以考虑枚举最后相遇的房间，然后可以看成求两个人同时从最后相遇的房间出发，走到\(X\)和\(Y\)的概率，这样初始状态什么的比较好表示，就会好求很多了（跟。。hnoi2013游走有点像？）

　　考虑\(dp\) ，假设我们现在枚举到终点是\(t\)，\(f[i][j]\)表示第一个人在\(i\)这个点，第二个人在\(j\)这个点的概率是多少

　　那么有初始状态：

　　　　1.\(i==j==t\)的情况，\(f[i][j]=1\)

　　　　2.\(i==j!=t\)的情况，\(f[i][j]=0\)

　　考虑从第\(i\)个房间走向一个相邻房间的概率\(k[i]\)，记第\(i\)个点的度数为\(du[i]\)，那么有
\[ k[i]=\frac{1-p[i]}{du[i]} \]
　　（有\(1-p[i]\)的概率离开这个房间，并且走向每个相邻房间的概率是一样的）

　　所以我们可以得到转移：
\[ \begin{aligned} f[i][j]&=p[i]*p[j]*f[i][j]&(都停留）\\ &+k[i]*p[j]*\sum f[u][j]&（第一个人走一步）\\ &+k[j]*p[i]*\sum f[i][v]&（第二个人走一步）\\ &+k[i]*k[j]*\sum f[u][v]&（两个人都走一步） \end{aligned} \]
　　其中\(u\)满足\(i\)和\(u\)在原图中有一条边直接相连，\(v\)满足\(v\)和\(j\)在原图中有一条边直接相连

　　然后移下项，对于每一对\((i,j)\)我们都可以得到一条长得像这样的式子：
\[ \sum a_{i,j}*f[i][j]=c \]
　　将\(f[i][j]\)看成未知数，就可以直接用高斯消元来做了

　　注意，移项的时候，因为在初始化中\(f[i][i]\)的值已经定下来了，所以应该当成常数来看

　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define db double
using namespace std;
const int N=25;
int mp[N][N],du[N];
db p[N],a[N*N][N*N],k[N],f[N],num[N][N];
int n,m,X,Y,mx;
db ans[N];
void fillmatrix(int t);
db gauss(int n);
void solve(int t);
void Fill(int x,int y);
int Id(int x,int y){return num[x][y];}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x,y;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&X,&Y);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        mp[x][y]=mp[y][x]=1;
        ++du[x]; ++du[y];
    }
    if (X==Y){
        for (int i=1;i<=n;++i)
            if (i==X) printf("%.10lf\n",1.0);
            else printf("%.10lf\n",0.0);
        return 0;
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",p+i);
    for (int i=1;i<=n;++i) k[i]=(1.0-p[i])/(1.0*du[i]);
    mx=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j)
            if (i!=j) num[i][j]=++mx;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        solve(i);
    for (int i=1;i<=n;++i) 
        printf("%.10lf ",ans[i]);
    printf("\n");
}

void solve(int t){
    fillmatrix(t);
    ans[t]=gauss(mx);
}

void fillmatrix(int t){
    int id;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[t]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        for (int j=1;j<=n;++j){
            if (i!=j) Fill(i,j);
        }
    }
}

void Fill(int x,int y){
    int id=Id(x,y);
    a[id][id]=p[x]*p[y]-1.0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        if (mp[i][x]){
            if (i!=y)
                a[id][Id(i,y)]+=k[x]*p[y];
            else
                a[id][mx+1]-=k[x]*p[y]*f[y];
        }
        if (mp[i][y]){
            if (i!=x)
                a[id][Id(x,i)]+=k[y]*p[x];
            else
                a[id][mx+1]-=k[y]*p[x]*f[x];
        }
        for (int j=1;j<=n;++j){
            if (mp[i][x]&&mp[j][y]){
                if (i!=j)
                    a[id][Id(i,j)]+=k[x]*k[y];
                else
                    a[id][mx+1]-=k[x]*k[y]*f[j];
            }
        }
    }
}

db gauss(int n){
    int id;
    db tmp;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        id=i;
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
            if (fabs(a[j][i])>fabs(a[id][i])) id=j;
        if (id!=i)
            for (int j=1;j<=n+1;++j) swap(a[i][j],a[id][j]);    
        for (int j=i+1;j<=n;++j){
            tmp=a[j][i]/a[i][i];
            for (int k=i;k<=n+1;++k)
                a[j][k]-=tmp*a[i][k];
        }
    }
    for (int i=n;i>=1;--i){
        for (int j=n;j>i;--j)
            a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
    return a[Id(X,Y)][mx+1];
}

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