JZOJ7月21日提高组T4 WTF交换

题目

Description

假定给出一个包含N个整数的数组A，包含N+1个整数的数组ID，与整数R。其中ID数组中的整数均在区间[1,N-1]中。
用下面的算法对A进行Warshall-Turing-Fourier变换(WTF):
sum = 0
for i = 1 to N
index = min{ ID[i], ID[i+1] }
sum = sum + A[index]
将数组A往右循环移动R位
将数组A内所有的数取相反数
for i = 1 to N
index = max{ ID[i], ID[i+1] }
index = index + 1
sum = sum + A[index]
将数组A往右循环移动R位
给出数组A以及整数R，但没有给出数组ID。在对数组A进行了WTF算法后，变量sum的可能出现的最大值数多少?

Input

第一行包含两个整数N与R。
第二行包含N个整数，代表A[1]到A[N]的值。

Output

第一行输出变量sum可能出现的最大值。
第二行输出此时的ID数组，包含N+1个整数。必须满足ID数组中每一个数均在区间[1,N-1]中。若有多个满足的ID数组，输出任意一组。
如果第一行是正确的（不管有没有输出第二行），你能得到该测试点50%的得分。

Sample Input

输入1：
5 3
1 -1 1 -1 1
输入2：
6 5
2 5 4 1 3 5

Sample Output

输出1：
10
1 1 1 2 2 3
输出2：
16
3 2 1 1 5 4 1

Data Constraint

对于20%的数据，N<=7。
对于60%的数据，N<=300。
对于100%的数据，2<=N<=3000, 1<=R<N, -10000<=A[i]<=10000。

题解

题意

有一种叫做WTF交换的东东（具体见题面）
现在给出数组 $A$， $R$和 $N$，求最大的 $sum$和满足最大 $sum$的 $ID$数组（任意一种即可）

分析

DP
设 $f[i][j]$表示 $ID$数组的第 $i$位选择 $j$的最大 $sum$

第一行

最初转移

枚举一个 $k(1$~ $n-1)$
$f[i][j]=max(f[i-1][k]+a[get(min(j,k))]-a[get(max(j,k)+1)])$
何为 $get$？
若当前选择第 $i$个位置
那么之前肯定进行过 $i-1$次WTF操作
那么这个 $j(k)$肯定会在数组内调换位置
$get$操作就是把一开始 $j(k)$的位置找到
显而易见，这个转移是 $O(n^3)$，只能拿60%的数据

优化

分类讨论：
当 $k≤j$时：
原方程变为： $f[i][j]=max(f[i-1][k]+a[get(k)]-a[get(j+1)])$
可以看出， $f[i-1][k]+a[get(k)]$是和 $j$没有关系的
既然要让答案最大，那么 $f[i-1][k]+a[get(k)]$就应该最大
那么就可以设一个 $s$表示最大的 $f[i-1][k]+a[get(k)]$
至于怎么满足 $k≤j$，就可以让 $j$顺着扫一遍，那么最大的 $s$所对应的 $k$肯定是在 $1$~ $j$里的
手动模拟过程：

1. 新的 $j$进入
2. 判断 $f[i-1][j]+a[get(j)]$与 $s$的大小，更新 $s$
3. 判断 $s-a[get(j+1)]$和 $f[i][j]$的大小，更新 $f[i][j]$

当 $j≤k$时：
原方程变为： $f[i][j]=max(f[i-1][k]+a[get(j)]-a[get(k+1)])$
可以看出， $f[i-1][k]-a[get(k+1)]$是和 $j$没有关系的
既然要让答案最大，那么 $f[i-1][k]-a[get(k+1)]$就应该最大
那么就可以设一个 $s$表示最大的 $f[i-1][k]-a[get(k+1)]$
至于怎么满足 $j≤k$，就可以让 $j$倒着扫一遍，那么最大的 $s$所对应的 $k$肯定是在 $j$~ $n-1$里的
手动模拟过程：

1. 新的 $j$进入
2. 判断 $f[i-1][j]-a[get(j+1)]$与 $s$的大小，更新 $s$
3. 判断 $s+a[get(j)]$和 $f[i][j]$的大小，更新 $f[i][j]$

原谅我偷懒
那么最大的 $sum$就是最大的 $f[n][i]$
这时第一行求处理完了

第二行

处理第二行，其实就是要记每个 $f[i][j]$是由哪个 $k$转移过来的
开一个新的数组 $g[i][j]$表示 $ID$数组的第 $i$位选择 $j$的最大 $sum$是从哪个 $k$转移过来的
在上述的更新 $f[i][j]$的那一步里顺便更新 $g[i][j]$
注意输出的时候，因为我们是由 $g[1][]$转移到 $g[2][]$转移到 $g[3][]$……最后转移到 $g[n][]$，所以要 $dg$输出
先别急着去打
发现，这里的 $g[i][j]$只有 $n$个数
但题目要求的是 $n+1$个数
那么第 $n+1$个数是什么？？？
其实就是最大 $f[n][i]$的 $i$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define inf 1234567890
#define get(x) ((((x)-(i-1)*r)%n+n-1)%n+1)
using namespace std;
int n,r,i,j,s,ss,t,ans,a[3005],f[3005][3005],g[3005][3005];
void dg(int x,int before)
{
	if (x!=0) dg(x-1,g[x][before]);
	printf("%d ",before);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&r);
	for (i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		ss=-inf;
		for (j=1;j<n;j++)
		{
			s=f[i-1][j]+a[get(j)];
			if (s>ss) 
			{
				ss=s;
				t=j;	
			}
			if (ss-a[get(j+1)]>f[i][j])
			{
				f[i][j]=ss-a[get(j+1)];
				g[i][j]=t;
			}
		}
		ss=-inf;
		for (j=n-1;j>=1;j--)
		{
			s=f[i-1][j]-a[get(j+1)];
			if (s>ss) 
			{
				ss=s;
				t=j;	
			}
			if (ss+a[get(j)]>f[i][j])
			{
				f[i][j]=ss+a[get(j)];
				g[i][j]=t;
			}	
		}
	}
	ans=-inf;
	for (i=1;i<n;i++)
		if (f[n][i]>ans)
		{
			ans=f[n][i];
			t=i;
		}
	printf("%d\n",ans);
	dg(n,t);
	return 0;
}