单层感知机（Single Layer Perceptron）原理及Matlab实现

前言
单层感知机
学习策略

损失函数的构造
损失函数的最优化求解

matlab实现
动态可视化过程

前言

本文参考李航老师的《统计学习方法》，使用matlab实现简单的单层感知机（single layer perceptron）模型。

单层感知机

单层感知机作为一种简单的线性二分类模型，是神经网络（Neural Network）和支持向量机（SVM）的基础。

输入：实例的特征向量。输出：实例的类别。类型：判别模型。
目标：通过寻找一个超平面（super hyper plane）将训练集中正负实例划分正确。
缺点：只能解决线性可分的问题，且不能保证间隔最大的性质。

下图展示了单层感知机对于给定线性可分数据集（linearly separable dataset）的分割效果：

在这里插入图片描述
那么给定数据集：
$D = \lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n) \rbrace$ 其中 $x_i\in\bold R^n$ 为我们的数据, $y_i\in\lbrace+1,-1\rbrace$ 为对应数据的标签。

对于感知机模型就是要寻找一个超平面：
$w\cdot x + b = 0$ 可以将正负实例完全分隔开，其中 $w$ 为权值向量， $b$ 为偏置(bias)。即

对于正样本有 $w\cdot x + b > 0$
对于负样本有 $w\cdot x + b < 0$

如下图所示(图源：统计学习方法)：
在这里插入图片描述
对于为什么正负样本带入超平面方程异号的问题，可以使用点到直线法向量的投影证明。如下：
$d_{signed} = \frac{wx_0+b}{||w||}$

学习策略

我们希望找到一个损失函数来表示超平面对数据集的分割好坏。

损失函数的构造

首先我们应该找到一个评价指标/损失函数来评价我们模型的好坏。一种直观的想法就是统计误分类点的总个数 $N_{err}$ ，然后最小化损失:
$\argmin_{w,b} {N_{err}}$ 其中 $w,b$ 为感知机的模型参数。
但是这样定义的损失函数并不是关于参数 $w,b$ 的连续可导函数，不容易优化。
另一种想法就是统计误分类点 $x_i$ 到超平面的距离和，然后最小化该损失函数。点到直线距离公式为：
$d = \frac{|wx_0+b|}{||w||}$ 因为对于误分类点，存在： $-y_i(w\cdot x+b) > 0$ ，所以可以通过引入 $y_i$ 去绝对值：
$d = -\frac{1}{||w||}y_i(w\cdot x_0+b)$ 于是我们定义损失函数：
$L = -\frac{1}{||w||}\sum_{x_i\in M} y_i(w\cdot x_0+b)$ 又因为感知机解决线性可分问题，损失函数最终收敛为0，所以权值项 $\frac{1}{||w||}$ 对收敛结果没有影响，反而会使学习过程复杂化。所以不考虑 $\frac{1}{||w||}$ 。

损失函数的最优化求解

这里使用随机梯度下降（SGD）来进行求解，不了解梯度下降的可以查看我之前的梯度下降(一)以及梯度下降(二).。
已知损失函数为：
$L = -\sum_{x_i\in M} y_i(w\cdot x_0+b)$ 求取梯度： $\nabla_wL(w,b) = -\sum_{x_i\in M} y_ix_i$ $\nabla_bL(w,b) = -\sum_{x_i\in M} y_i$
然后随机选取一个误分类点 $(x_i,y_i)$ ，进行权值更新 $w:=w+\eta y_ix_i$ $b:=b+\eta y_i$ 其中， $\eta$ 为学习率。
经过多次迭代，损失函数收敛到0，超平面选取完成。

matlab实现

下面是单层感知机的matlab实现代码：

% Writen by Weichen Gu 4/24th/2020
clc; clf; clear;

Range = [-10, 10; -10, 10];     % set the range of dataset
dataSize = 20;                  % and the size of data
w = [-1;1];
b = 0;              % Actual data parameters
[data, class] = generateLinearlySeparableDataSet(w, b, Range, dataSize); % Generate dataset

% Plot positive and negative data. pos: r+, neg : bo
figure(1);
hold on;
set(gca, 'XLim', Range(1,:));
set(gca, 'YLim', Range(2,:));

posFlag = find(class == 1);
negFlag = find(class == -1);
plot(data(1,posFlag), data(2,posFlag), 'r+','linewidth',2);
plot(data(1,negFlag), data(2,negFlag), 'bo','linewidth',2);

title('Single Layer Perceptron');
legend('positive samples','negative samples');
xlabel('x'), ylabel('y');

%Initialize w and b randomly;
w = randi([-100, 100], 2, 1);
b = randi([-100, 100]);
eta = 0.2;                  % Learning rate
lineX = linspace(Range(1),Range(3),100);

while(1)
    funcMargin = class.*(w'*data+b);
    errSampleIdx = find(funcMargin<=0);
    % Using Stochastic Gradient Descent
    errNum = length(errSampleIdx);
    if(errNum == 0)
        break;
    end
    idx = randi([1, errNum]);
    [dx, db] = calculateGradient(data(:,errSampleIdx(idx)),class(errSampleIdx(idx)));
    w = w - eta.*dx;
    b = b - eta.*db;

end
    lineMy = [lineX;-w(1)/w(2)*lineX-b/w(2)];                   % Separating hyyperplane
    h_line = plot(lineMy(1,:),lineMy(2,:),'c','linewidth',2);   % draw separating hyyperplane
    legend('positive samples','negative samples','separating hyperplane')
    
hold off;

%% generateLinearlySeparableDataSet
% Params Description:
% w - slope 
% b - intercept
% Range = [RangeXL, RangeXR
%          RangeYL, RangeYR]
function [data, class] = generateLinearlySeparableDataSet(w, b, Range, dataSize)
diff = Range(:,2)-Range(:,1);
data = (diff).*rand(2,dataSize)+Range(:,1);

val = w' * data + b; % seperating hyperplane w * x + b = 0; val > 0 positive samples val < 0, negative samples
% remove data on the seperating hyperplane 
data = data(:,val~=0);
val = val(val~=0);

class = (val>0)-(val<0); % class(pos) = 1, class(neg) = -1

end

function [dw, db] = calculateGradient(x,class)
    dw = -class.*x;
    db = -class;
end