由于最近在学习关于相机标定的知识，所以了解大量相机知识，但通过大量资料学习后发现，网上很多对坐标系的转化过程无明确过程，使得数学基础不好的笔者十分苦恼，由此整理了一篇关于坐标系转化的文章，仅供参考。
首先我们先明白为什么我们要进行坐标系得转换，是因为我们需要从世界坐标系得三维坐标转化到我们图像二维坐标中，从而获得我们所需要得参数。
世界坐标系与相机坐标系 我们需要通过旋转和平移进行转化，从世界坐标系旋转到与相机坐标系相平行的位置，再进行平移，使得世界坐标系和相机坐标系重合，从而达到从世界坐标系到相机坐标系得目的。
由于涉及到坐标系的旋转，我们得先学习坐标系绕着不同的坐标轴旋转不同的角度，得到相应的矩阵。下图为x，y坐标绕着z轴转动θ角度后的图像
{
x
′
=
x
c
o
s
θ
+
y
s
i
n
θ
y
′
=
−
x
s
i
n
θ
+
y
c
o
s
θ
\left\{ \begin{aligned} x' = x cosθ +y sinθ\\y' = -x sinθ+y cosθ \end{aligned} \right.
{ x ′ = x c o s θ + y s i n θ y ′ = − x s i n θ + y c o s θ
二维旋转矩阵为：
[
x
′
y
′
]
=
[
c
o
s
θ
s
i
n
θ
−
s
i
n
θ
c
o
s
θ
]
[
x
y
]
=
T
[
x
y
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \quad \end{gathered}
[ x ′ y ′ ] = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] [ x y ] = T [ x y ]
[
x
′
y
′
z
′
]
=
[
c
o
s
θ
s
i
n
θ
0
−
s
i
n
θ
c
o
s
θ
0
0
0
1
]
[
x
y
z
]
=
T
[
x
y
z
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ & 0\\ -sinθ & cosθ &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x \\ y \\z\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = T ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤
[
x
′
y
′
z
′
1
]
=
[
c
o
s
θ
s
i
n
θ
0
0
−
s
i
n
θ
c
o
s
θ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
x
y
z
1
]
=
T
[
x
y
z
1
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z' \\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & sinθ & 0&0\\ -sinθ & cosθ &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x \\ y \\z\\1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x ′ y ′ z ′ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = T ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
如果我们是一直P(x’,y’,z’),求x，y，z呢？
已知P(x’,y’,z’),求x，y，z。
（2）求y
{
x
=
x
′
c
o
s
θ
−
y
′
s
i
n
θ
y
′
=
x
′
s
i
n
θ
+
y
′
c
o
s
θ
\left\{ \begin{aligned} x = x' cosθ -y' sinθ\\ y'= x' sinθ+y' cosθ \end{aligned} \right.
{ x = x ′ c o s θ − y ′ s i n θ y ′ = x ′ s i n θ + y ′ c o s θ
[
x
y
]
=
[
c
o
s
θ
−
s
i
n
θ
s
i
n
θ
c
o
s
θ
]
[
x
′
y
′
]
=
R
1
[
x
′
y
′
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =R1\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\quad \end{gathered}
[ x y ] = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ x ′ y ′ ] = R 1 [ x ′ y ′ ]
[
x
y
z
]
=
[
c
o
s
θ
−
s
i
n
θ
0
s
i
n
θ
c
o
s
θ
0
0
0
1
]
[
x
′
y
′
z
′
]
=
R
1
[
x
′
y
′
z
′
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ & 0\\ sinθ & cosθ &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix}=R1\begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤ = R 1 ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤
[
x
y
z
1
]
=
[
c
o
s
θ
−
s
i
n
θ
0
0
s
i
n
θ
c
o
s
θ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
[
x
′
y
′
z
′
1
]
=
R
1
[
x
′
y
′
z
′
1
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \\z\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosθ & -sinθ & 0&0\\ sinθ & cosθ &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\\1\end{bmatrix}=R1\begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\\1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ c o s θ s i n θ 0 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x ′ y ′ z ′ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = R 1 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x ′ y ′ z ′ 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
同理我们可以求得绕X轴和Y轴旋转ω，β的3阶矩阵
[
x
y
z
]
=
[
1
0
0
0
c
o
s
ω
s
i
n
ω
0
−
s
i
n
ω
c
o
s
ω
]
[
x
′
y
′
z
′
]
=
R
2
[
x
′
y
′
z
′
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cosω &sinω\\0&-sinω&cosω \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix}=R2\begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 c o s ω − s i n ω 0 s i n ω c o s ω ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤ = R 2 ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤
[
x
y
z
]
=
[
c
o
s
β
0
−
s
i
n
β
0
1
0
s
i
n
β
0
c
o
s
β
]
[
x
′
y
′
z
′
]
=
R
3
[
x
′
y
′
z
′
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cosβ & 0 & -sinβ\\ 0 & 1 &0\\sinβ&0&cosβ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix}=R3\begin{bmatrix} x' \\ y' \\z'\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ c o s β 0 s i n β 0 1 0 − s i n β 0 c o s β ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤ = R 3 ⎣ ⎡ x ′ y ′ z ′ ⎦ ⎤
相机坐标系其实也是一个三维直角坐标系，原点O是位于镜头光心处，X，Y周分别与成像面得两边平行，z轴是镜头得光轴，与像平面垂直。
*这里给大家增加一个知识点：
我们在上面已经得到了旋转矩阵R，所以
[
x
c
y
c
z
c
]
=
R
[
x
w
y
w
z
w
]
+
T
=
[
r
11
r
12
r
12
r
21
r
22
r
23
r
31
r
32
r
33
]
[
x
w
y
w
z
w
]
+
[
t
x
t
y
t
z
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} xc \\ yc \\zc \end{bmatrix} =R\begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw \end{bmatrix} +T=\begin{bmatrix} r11&r12 &r12 \\ r21&r22&r23 \\r31&r32&r33\end{bmatrix}\begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} tx \\ ty \\tz\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ x c y c z c ⎦ ⎤ = R ⎣ ⎡ x w y w z w ⎦ ⎤ + T = ⎣ ⎡ r 1 1 r 2 1 r 3 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 r 1 2 r 2 3 r 3 3 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x w y w z w ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ t x t y t z ⎦ ⎤
R
T
=
[
x
c
y
c
z
c
1
]
=
[
R
T
0
1
]
[
x
w
y
w
z
w
1
]
\begin{gathered} RT=\begin{bmatrix} xc \\ yc \\zc\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1 \end{bmatrix} \quad \end{gathered}
R T = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x c y c z c 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ R 0 T 1 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 3矩阵，T是3 1矩阵，RT变成了4*4矩阵。而R，T记为相机外参（Camera Extrinsic）。
像素坐标系
图像坐标系
2.3图像坐标系转化为像素坐标系
[
u
v
1
]
=
[
1
/
d
x
0
u
0
0
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
X
Y
1
]
\begin{gathered} \begin{bmatrix} u \\ v \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1/dx&0&u0 \\0&1/dy&v0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X\\ Y\\1 \end{bmatrix} \quad \end{gathered}
⎣ ⎡ u v 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 / d x 0 0 0 1 / d y 0 u 0 v 0 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ X Y 1 ⎦ ⎤
u
=
x
/
d
x
+
u
0
v
=
y
/
d
y
+
v
0
u=x/dx+u0\\ v=y/dy+v0 \\
u = x / d x + u 0 v = y / d y + v 0
2.4三维相机坐标系与图像坐标系 说到三维相机坐标系就不得不提到小学二年级学到的小孔成像原理
s
[
X
Y
Z
]
=
[
f
0
0
0
0
f
0
0
0
0
1
0
]
[
x
y
z
1
]
\begin{gathered} s\begin{bmatrix} X \\ Y \\Z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f&0&0&0 \\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\z\\1 \end{bmatrix} \quad \end{gathered}
s ⎣ ⎡ X Y Z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ f 0 0 0 f 0 0 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
拆开为等式形式：
s
X
=
f
x
s
Y
=
f
y
sX=fx\\ sY=fy \\
s X = f x s Y = f y
X
/
x
=
f
/
s
Y
/
y
=
f
/
s
X/x=f/s\\ Y/y=f/s
X / x = f / s Y / y = f / s
这里补充一个知识点：
2.5.世界坐标系与像素坐标系 现在把上面步骤结合起来，这里列一下上面所求出的公式：
世界坐标系与相机坐标系 三维相机坐标系与图像坐标系 图像坐标系转化为像素坐标系
R
T
=
[
x
c
y
c
z
c
1
]
=
[
R
T
0
1
]
[
x
w
y
w
z
w
1
]
s
[
X
Y
Z
]
=
[
f
0
0
0
0
f
0
0
0
0
1
0
]
[
x
y
z
1
]
[
u
v
1
]
=
[
1
/
d
x
0
u
0
0
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
X
Y
1
]
\begin{gathered} RT=\begin{bmatrix} xc \\ yc \\zc\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1 \end{bmatrix} s\begin{bmatrix} X \\ Y \\Z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f&0&0&0 \\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\z\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1/dx&0&u0 \\0&1/dy&v0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X\\ Y\\1 \end{bmatrix} \quad \end{gathered}
R T = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x c y c z c 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = [ R 0 T 1 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ s ⎣ ⎡ X Y Z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ f 0 0 0 f 0 0 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎡ u v 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 / d x 0 0 0 1 / d y 0 u 0 v 0 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ X Y 1 ⎦ ⎤
s
[
u
v
1
]
=
[
1
/
d
x
0
u
0
0
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
f
0
0
0
0
f
0
0
0
0
1
0
]
[
R
T
0
1
]
[
x
w
y
w
z
w
1
]
=
[
f
/
d
x
0
v
0
0
0
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
[
R
T
0
1
]
[
x
w
y
w
z
w
1
]
\begin{gathered} s\begin{bmatrix} u \\ v \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1/dx&0&u0 \\0&1/dy&v0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} f&0&0&0 \\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f/dx&0&v0&0 \\0&f/dy&v0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
s ⎣ ⎡ u v 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 / d x 0 0 0 1 / d y 0 u 0 v 0 1 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ f 0 0 0 f 0 0 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ [ R 0 T 1 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎡ f / d x 0 0 0 f / d y 0 v 0 v 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ [ R 0 T 1 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
a
x
=
f
/
d
x
a
y
=
f
/
d
y
M
1
=
[
f
/
d
x
0
v
0
0
0
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
M
2
=
[
R
T
0
1
]
X
w
=
[
x
w
y
w
z
w
1
]
ax=f/dx\\ ay=f/dy\\ \begin{gathered} M1=\begin{bmatrix} f/dx&0&v0&0 \\0&f/dy&v0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\\ M2=\begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix}\\ Xw=\begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}
a x = f / d x a y = f / d y M 1 = ⎣ ⎡ f / d x 0 0 0 f / d y 0 v 0 v 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ M 2 = [ R 0 T 1 ] X w = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
s
[
u
v
1
]
=
[
a
x
0
v
0
0
0
a
y
v
0
0
0
0
1
0
]
[
R
T
0
1
]
[
x
w
y
w
z
w
1
]
=
M
1
∗
M
2
∗
X
w
=
M
X
w
\begin{gathered} s\begin{bmatrix} u \\ v \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ax&0&v0&0 \\0&ay&v0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} R&T \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} xw\\ yw\\zw\\1\end{bmatrix}=M1*M2*Xw=MXw \quad \end{gathered}
s ⎣ ⎡ u v 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ a x 0 0 0 a y 0 v 0 v 0 1 0 0 0 ⎦ ⎤ [ R 0 T 1 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x w y w z w 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = M 1 ∗ M 2 ∗ X w = M X w
总结 ：这部分内容大多数都是关于线性代数课程的知识，重点就是一定要自己动手算过才算真正明白，此部分笔者觉得的难点就是对各个坐标轴认识和旋转矩阵这部分。
