2020牛客多校 2F.Fake Maxpooling（预处理lcm+单调队列）

题意：

给定n,m,k，表示有一个nm的矩阵a，其中a(i,j)=lcm(i,j)
现在要求计算所有k*k的子矩阵的权值和
子矩阵的权值为子矩阵中元素的最大值

数据范围：n,m,k<=5e3

解法：

暴力计算lcm，复杂度O(nm*log)

先在每行滑动大小为k的窗口，维护最大值，将第i行[j-k+1,j]范围内的最大值存在b(i,j)中
然后对b数组每一列滑动大小为k的窗口，维护最大值，累加答案即可
滑动窗口复杂度O(nm)

—分割线—
虽然能过但是跑了2000+ms，发现主要耗时在暴力计算lcm上，试着优化一下
题解里的O(nm)预处理代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        if(!g[i][j]){
            for(int k=1;k*i<=n&&k*j<=m;k++){
                g[k*i][k*j]=k;
                a[k*i][k*j]=i*j*k;
            }
        }
    }
}

大概是!g(i,j)的时候表示i和j是互质的，然后枚举倍数k，ki和kj的gcd一定是k，然后记录一下g和a
这段代码可以预处理出gcd和lcm

但是这题多开一个g数组居然就超内存了
不过我们用不到预处理出的gcd数组，只需要a数组，那么把g数组删掉就行了：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        if(!a[i][j]){
            for(int k=1;k*i<=n&&k*j<=m;k++){
                a[k*i][k*j]=i*j*k;
            }
        }
    }
}

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
#define ll long long
const int maxm=5e3+5;
int a[maxm][maxm];
int b[maxm][maxm];
int q[maxm];
int n,m,k;
//暴力计算lcm需要的函数
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
//
signed main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
//    for(int i=1;i<=n;i++){//暴力计算lcm
//        for(int j=1;j<=m;j++){
//            a[i][j]=lcm(i,j);
//        }
//    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(!a[i][j]){
                for(int k=1;k*i<=n&&k*j<=m;k++){
                    a[k*i][k*j]=i*j*k;
                }
            }
        }
    }
    //单调队列,对头存最大
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int h=1,t=0;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            while(h<=t&&j-q[h]>=k)h++;
            while(h<=t&&a[i][q[t]]<=a[i][j])t--;
            q[++t]=j;
            b[i][j]=a[i][q[h]];//b[i][j]为第i行[j-k+1,j]的最大值
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int j=k;j<=m;j++){
        int h=1,t=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(h<=t&&i-q[h]>=k)h++;
            while(h<=t&&b[q[t]][j]<=b[i][j])t--;
            q[++t]=i;
            if(i>=k){
                ans+=b[q[h]][j];
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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