基本遗传算法如此简单！！！

本文为《遗传算法原理及应用》基本遗传算法学习总结。

一、前言

遗传算法有很多形式，其中较为简单的就是基本遗传算法（SGA）了，SGA 是其他遗传算法的基础。接下来我们介绍相关的知识。

二、基本遗传算法描述

我们首先介绍 SGA 的构成要素：

1. 染色体编码方法。使用二进制字符串表示，等位基因由二值符号 $\{0,1\}$ 组成，初始种群的基因值满足均匀分布。
2. 个体适应度评价。我们会根据个体适应度的大小对群体进行优胜劣汰，因为要以概率的形式接受个体，所以适应度必须 $≥0$。实际情况中需要自己设计。
3. 遗传算子。SGA 只使用我们上篇文章说到的选择算子、交叉算子和变异算子。选择运算采用比例选择算子，即上篇文章中用个体适应度除以群体适应度总和；交叉运算采用单点交叉算子，只对染色体的一段进行交叉互换（而不考虑多段）；变异运算采用基本位变异算子或均匀变异算子，即某些位发生基因突变。
4. SGA 的运行参数。以下参数需通过反复实验尝试才能得到较好的结果。
   • $M$：群体大小，取20~100
   • $T$：终止进化代数，即迭代次数，取100~500
   • $p_c$：交叉概率，即发生交叉互换的概率，取0.4~0.99
   • $p_m$：变异概率，即个体产生基因突变的概率（而非每个基因座的突变概率），取0.0001~0.1

三、基本遗传算法的实现

接下来我们详细介绍 SGA 的构成要素。

1. 染色体编码方法。

   （1）如 $X=1010$ 为个体基因型，可表示一个个体；
   （2）染色体长度通常取二进制值域刚好能满足可行域的位数（有时也可取一半的离散点）：

   $2^m<(U_{max}-U_{min})×10^S<2^n$

   对应二进制编码位数为 $n$， $U_{max},U_{min}$ 分别为自变量最大值和最小值， $S$ 为需要精确到的位数。

2. 个体适应度评价，即适应度函数的选取问题。

   （1）最小值优化问题。加负号转化为最大值优化问题；

   （2）目标函数总取正的最大值优化问题，直接将目标函数作为适应度函数；

   （3）目标函数有负值的最大值优化问题，适应度函数为：

   $F(X)=\left\{ \begin{array}{rcl} f(X)+C_{min} & & {f(X)+C_{min}>0}\\ 0 & & {f(X)+C_{min}≤0}\\ \end{array} \right.$

   其中 $C_{min}$ 为一个相对较小的数，有三种选择方法：

   (a) 预先指定较小的数
   (b) 进化到当前代为止的最小目标函数值
   (c ) 当前代或近几代群体中的最小目标函数值

   （4）目标函数有负值的最小值优化问题，适应度函数为：
   $F(X)=\left\{ \begin{array}{rcl} C_{max}-f(X) & & {f(X)<C_{max}}\\ 0 & & {f(X)≥C_{max}}\\ \end{array} \right.$
   其中 $C_{max}$ 是一个相对较大的值，选择方法同上。

3. 比例选择算子。执行过程如下：
   （1）计算群体适应度总和；

   （2）计算相对适应度，即用个体适应度除以群体适应度总和；

   （3）模拟赌盘操作确定个体被选择的次数。概率大的个体被选择遗传下去的个数多。

4. 单点交叉算子。执行过程如下：

   （1）个体两两配对，人为指定；

   （2）随机设置某基因座后为交叉点。若染色体长度为 $n$，则交叉点可选位置为 $n-1$，即不能发生不交叉的情况；

   （3）每对个体根据交叉概率 $p_c$ 进行交换。示意图如下：

5. 基本位变异算子。执行过程如下：

   （1）依据概率 $p_m$ 对每个基因座指定为变异点；

   （2）对于变异点，基因值取反或用其他值代替。

实际上，遗传算法就是一个迭代的过程，每次迭代进行相同操作。我们通过一个例题来解释上文中的知识点：

【例】Rosenbrock 函数的全局最大值计算。
$max\ f(x_1,x_2)=100(x_1^2-x_2)^2+(1-x_1)^2$

$s.t.\ -2.048≤x_i≤2.048\ (i=1,2)$

例题已经给我们了数学模型，我们直接运用遗传算法即可。

1. 确定编码方法。 $x_1,x_2$ 分别用 10 位二进制编码表示，则每个变量可取的离散值为 1024 个，表示 $-2.048≤x_i≤2.048$ 间的一半离散点。将 $x_1,x_2$ 的编码连接。

2. 确定解码方法。即用解码公式将上述编码方式转换回变量值，此例题的解码公式根据区间比例容易得到：
   $x_i=4.096×\frac{y_i}{1023}-2.048$

3. 因为目标函数非负且要求全局最大值，则个体评价方法可直接用目标函数。遗传算子及运行参数与前面相同不再赘述。

在不断进化（迭代）的过程中，适应度高的个体越来越多，并集中在最优点附近，从而可以求得最优解。