二进制状态压缩枚举子集

对于二进制状态 $S$，可以用此方法不重不漏地枚举出子状态：

for (int sub = S; sub; sub = (sub - 1) & S) {
	// sub 为 S 的子集
}

【证明】 由 $sub = (sub - 1) \cap S$ 可知 $sub$ 每次必然会变小，于是我们只需要证明区间 $\left((sub - 1) \cap S, sub\right)$ 中不存在 $S$ 的子集。设 $sub = (d_1d_2 \cdots d_k 10 \cdots 0)_2$，那么 $sub - 1 = (d_1d_2 \cdots d_k 01 \cdots 1)_2$，由于 $sub$ 是 $S$ 的子集，则 $(d_1d_2 \cdots d_k 00 \cdots 0)_2$ 是 $S$ 的子集，因此考虑 $(d_1d_2 \cdots d_k 01 \cdots 1)_2 \cap S$，得到的一定是 $\left((d_1d_2 \cdots d_k 00 \cdots 0)_2, (d_1d_2 \cdots d_k 10 \cdots 0)_2\right)$ 中值最大的子集，问题得证。

【时间复杂度】 枚举单个状态的子集复杂度为 $O(2^m)$（ $m$ 为 $S$ 中 $1$ 的个数）。考虑枚举全集 $2^n - 1$ 的每个子集的子集的时间复杂度： $O\left(\sum\limits_{i = 0}^{n} \left(C_{n}^{i} \cdot 2^i\right)\right) = O\left((1 + 2) ^ n\right) = O(3^n)$（二项式定理： $(1+x)^n = \sum\limits_{i = 0}^{n} \left(C_{n}^{i} \cdot x^i\right)$）。