【蓝桥杯】二进制枚举子集

二进制法

给定一个集合，枚举所有可能的子集。枚举子集的方法有很多，本节我们介绍一种代码编写非常方便的枚举子集方法——二进制法

我们可以用二进制的一位表示集合对应某一元素的选取状态， $1$ 表示选取， $0$ 表示未选取。

举个例子，我们拥有一个集合 { ${0,1,2,3,4,5,6}$}。

那么二进制0101101就代表子集合 { ${0,2,3,5}$}，如下图所示。

2进制数位	6	5	4	3	2	1	0
二进制制数值	0	1	0	1	1	0	1
选取的元素	-	5	-	3	2	-	0

位运算

代码中对于二进制的处理可以用位运算来实现。位运算是对二进制的每一位进行计算，所以每一位只有 $0$ 或 $1$ 两种可能。先介绍三种常用的位运算符：与 &、或|、亦或^，运算规则如下表所示

A	B	A&B	A|B	A^B
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	0

• 与运算：两者都为 $1$ 时，结果为 $1$ ，否则为 $0$
• 或运算：两者都为 $0$ 时，结果为 $0$ ，否则为 $1$
• 异或运算：两者同为 $0$ 或者 $1$ 时，结果为 $1$，否则为 $0$

两个十进制整数进行位运算结果是多少呢？举个例子 A = 25 与 B = 14 做位运算，A 转化为二进制是 11001，B 转化为二进制是 01110，那么结果如下图

A = 25	1	1	0	0	1
B = 14	0	1	1	1	0
A&B = 8	0	1	0	0	0
A|B = 31	1	1	1	1	1
A^B = 23	1	0	1	1	1

注意： 不要把 A^B 当成 $A^B$

位运算符

位运算符中有两种操作，左移<<和右移>>。右移具体还分为带符号右移与无符号右移，本节我们提到的右移指的是带符号右移，无符号右移使用较少，在这里不做解释。

对于A << B,表示把 A 转化为二进制后向左移动 B 位（在末尾添加 B 个 0 )。

对于A >> B,表示把 A 转化为二进制后向右移动 B 位（删除末尾的 B 位）。

比如2 << 2, 2 转化为二进制则是 10,那么就是 10 左移动 2 位，就变成了二进制1000,转化为十进制是 8,所以 2 << 2 = 8 。

举个例子

我们来看一个可以用二进制枚举的方法解决的题目。

话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。

—天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒两斗。他边走边唱:

• 无事街上走，提壶去打酒。
• 逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店 5 次，遇到花 10 次，已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。请你计算李白遇到店和花的次序，有多少种可能的方案。

解答

这个题目解法很多，二进制枚举是一种写起来非常简洁的解法。我们已知遇店 5 次，遇花 10 次，并且最后一次遇到花，正好把酒喝光。那么我们可以把店作为二进制中的 1，把花作为二进制中的 0，因为已经确定最后一次遇到的是花，所以我们需要判断枚举的结果是否刚好有 5 个 1 和 9 个 0。那么我们就枚举出 14 位二进制的所有可能并加以判断即可，判断思路为判断二进制是否有 9 个 0，5 个 1,并且最终酒刚好剩 1 斗。

根据这个思路，可以写出如下的代码：

int ans = 0;
for (int i = 0; i < (1<<14); ++i) {
    int tot_1 = 0;
    int tot_0 = 0;
    int num = 2;
    for (int j = 0; j < 14; ++j) {
        if (i&(1 << j)) { // 这里判断二进制 i 从右数第 j + 1 位是否为 1
            tot_1++;
            num = num * 2;
        } else {
            tot_0++;
            num = num - 1;
        }  
    }
    if (tot_1 == 5 && tot_0 == 9 && num == 1) {
        ++ans; // 记录合法方案数
    }
}

自己补充

二进制法适用范围：

1. 一定的范围，int 的范围是 2 $^{32}$ - 1，再大遍历耗时太久，也就没意义了
2. 两种对应状态，比如店与花、选取与不选取、买与不买、召唤与不召唤

二进制法通解过程：

1. 确定状态，0 1 分别表示什么状态
2. 确定枚举范围，即外部循环是什么
3. 确定目标所求，即一次外部循环哪些需要求
4. 确定子集范围，即内部循环是什么
5. 确定具体所求，即一次内部循环哪些量需要改变
6. 确定解，即什么样的遍历效果是我们所求，需要哪些限定条件

二进制法通解：

// 枚举范围
for(int i=0;i<(1 << n);i++){
	// 列出变化变量
    int ...;
    // 遍历每一位
	for(int j=0;j<n;j++){
	    if(i & (1 << j)){
	       // 如果满足状态，遍历随着变化
	    }
	}
	//当遍历完一种情况，累积量
	if(...)
		...;
}